সাধারণ ধারণা
কার্তেসীয় স্থানাংক জ্যামিতিতে দ্বারা কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশিত হলে,
x = ঐ বিন্দুর ভুজ (abscissa) বা x– স্থানাংক
y = ঐ বিন্দুর কোটি (ordinate) বা y– স্থানাংক
পোলার স্থানাংক জ্যামিতিতে (Polar Co-ordinate Geomatry) p (π,θ) দ্বারা কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশিত হলে ,
π = ঐ বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর (Radius Vector)
θ = ভেক্টোরিয়াল কোণ (Vectorian Vector)
যখন, π2 = x2+y2
এবং θ = tan-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে হলে ]
= π - tan-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান দ্বিতীয় চতুভাগে হলে ]
= π + tan-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান তৃতীয় চতুভাগে হলে ]
= - tan-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান চতুর্থ চতুভাগে হলে ]
or, 2π - tan-1(y/x)
x = π cosθ ; y = π sinθ
- মূল বিন্দু বা পোল এর স্থানাংক ≡ (0,0)
- x অক্ষরেখার উপর যেকোনো বিন্দুর কোটি শূন্য (0)
- y অক্ষরেখার উপর যেকোনো বিন্দুর ভুজ শূন্য (0)
- x অক্ষরেখার থেকে যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব হল ঐ বিন্দুর কোটি = │y│
- y অক্ষরেখা থেকে যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব হল ঐ বিন্দুর ভুজ = │x│
- যেকোনো বিন্দু p (x1, y1) এবং এর মধ্যকার দূরত্ব হল,
PQ = √(x1−x2)2+(y1−y2)2
- মূল বিন্দু থেকে P(x1,y1) বিন্দুর দূরত্ব = √x21+y21
- P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি যদি অন্তর্বিভক্ত করে অর্থাৎ PR:RQ যেখানে m1,m2ϵIR তবে,
x = m1x2+m2x1m1+m2
y = m1y2+m2y1m1+m2
¥ P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি যদি বহির্বিভক্ত করে অর্থাৎ PR:RQ=m1:m2 হয় যেখানে m1,m2ϵIR
x = m1x2−m2x1m1−m2
y = m1y2−m2y1m1−m2
¥ P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে যদি R(x,y) বিন্দুটি সমদ্বিখন্ডিত করে অথাৎ PR:RQ=1:1, হয় তবে,
x = x1+x22
y = y1+y22
¥ কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো যথাক্রমে (x1,y1), (x2,y2), এবং (x3,y3) হলে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাংক হবে ≡ (x1+x2+x33,y1+y2+y33)
¥ ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে 2:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে
¥ বর্গক্ষেত্র ,আয়তক্ষেত্র , রম্বস ও সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে ।
¥ P(x1,y1) এবং Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি k:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে, k = x−x1x2−x=y−y1y2−y
এবং বহির্বিভক্ত করলে, k = x1−xx2−x=y1−yy2−y
¥ P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে x অক্ষ −y1y2:1 অনুপাতে এবং y অক্ষ −x1x2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে। অনুপাতের মান ঋণাত্মক হলে বুঝতে হবে অক্ষরেখা উক্ত সরলরেখাকে বহির্বিভক্ত করে ।
¥ কোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমরেখ এবং ভরকেন্দ্র , লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখাকে 2:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে ।
¥ P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে ax+by+c=0 রেখাটি k:1 অনুপাতে বিভক্ত করলে, k = - ax1+by1+cax2+by2+c । k এর মান ঋণাত্মক হলে বুঝতে হবে রেখাটি বহির্বিভক্ত হয়েছে।
¥ কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো যথাক্রমে (x1,y1), (x2,y2), এবং (x3,y3) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে,
½ = x1x2x3y1y2y31/2{x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)}111
অথবা নিম্নোক্ত উপায়ে সজ্জিত করেও সহজে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়
⇒ Δ = ½ {(x1y2+x2y3+x3+y1)-(y1x2+y2+x3+y3x1)}
উক্ত প্রক্রিয়ায় যেকোনো ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় সম্ভব ।
¥ ∆ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো যথাক্রমে (x1,y1), (x2,y2), ও (x3,y3) এবং a, b, c যথাক্রমে ∠A, ∠B এবং ∠C এর বিপরীত বাহু হলে :
I. অন্তকেন্দ্র ≡ (ax1+bx2+cx3a+b+c,ay1+by2+cy3a+b+c)
ii. পরিকেন্দ্র ≡ (x1sin2A+x2sin2B+x3sin2Csin2A+sin2B+sin2C,y1sin2A+y2sin2B+y3sin2Csin2A+sin2B+sin2C)
iii. লম্ববিন্দু ≡ (x1tanA+x2tanB+x3tanCtanA+tanB+tanC,y1tanA+y2tanB+y3tanCtanA+tanB+tanC)
¥ তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে তাদের হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে ।
¥ কোনো সামান্তরিকের A, B ও C বিন্দুর স্থানাংক যথাক্রমে (x1,y1), (x2,y2), ও (x3,y3) হলে,
D ≡ (x1+x3-x2, y1+y3-y2)
¥ ∆ABC এর BC, CA ও AB এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D(x1,y1), E(x2,y2) ও F(x3,y3) হলে,
- A ≡ (x3+x2-x1, y3+y2-y1)
B ≡ (x1+x2-x2, y1+y3-y2)
C ≡ (x1+x2-x3, y1+y2-y3)
2. ∆ক্ষেত্র ABC = ∆ক্ষেত্র DEF
3. ∆ABC ও ∆DEF এর ভরকেন্দ্র একই
গাণিতিক সমস্যা
(Examplary problems with sollution:)
1. কোনো বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাংক (-1,√3) হলে, বিন্দুটির পোলার স্থানাংক নির্ণয় কর ।
সমাধান :
এখানে, x=-1, y=√3 অথাৎ বিন্দুর অবস্থান দ্বিতীয় চতুভাগে ।
∴, π=√x2+y2=2
∴, θ = π – tan-1(y/x) = 180° - 60° = 120°
2. কার্তেসীয় সমীকরণগুলোকে পোলার সমীকরণে এবং পোলার সমীকরণগুলোকে কার্তেসীয় সমীকরণে পরিণত কর
সমাধান :
- x2+y2-2ax = 0
- y = x tanα
- π = 2a cosθ
- π2sin2θ = 2a2
- (x2+y2)2 = 2a2xy
- π2 = a2cos2θ
- π(1+cosθ) = 2
i. x2+y2-2ax = 0 ⇒ x2+y2 = 2ax
⇒ π2 = 2a.π cosθ
⇒ π = 2a cosθ
ii. y = x tanα ⇒ π sinθ = π cosθ – tanα
⇒ sinθ/cosθ = tanα
⇒ tanθ = tanα
⇒ θ = α
iii. π = 2a cosθ ⇒ π2 = 2a π cosθ
⇒ x2+y2 = 2ax
⇒ x2+y2-2ax = 0
iv. π2sin2θ = 2a2 ⇒ π2 2sinθ.cosθ = 2a2 [sin2θ = 2sinθ.cosθ]
⇒ π sinθ.π cosθ = a2
⇒ xy = a2
v. (x2+y2)2 = 2a2xy ⇒ (π2)2 = 2a2. πcosθ. πsinθ
⇒ π2 = 2a2. 2sinθ.cosθ
⇒ π2 = a2 sin2θ
vi. π2 = a2 cos2θ ⇒ π2 = a2 (cos2 θ – sin2θ)
⇒ π4 = a2 (π2cos2θ – π2sin2θ) [উভয়পক্ষকে π2 দ্বারা গুণ করে]
⇒ (x2+y2)2 = a2(x2-y2)
vii. π(1+cosθ) = 2 ⇒ π(1+cosθ) = 2
⇒ π + π cosθ = 2
⇒ π +x = 2
⇒ π2 = (2-x)2
⇒ x2+y2 = 4-4x+x2
⇒ y2 = -4(x-1)
3. x অক্ষ ও (-5,-7) থেকে (4,k) বিন্দুটির দূরত্ব সমান হলে k-এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধান :
x অক্ষ থেকে (4,k) বিন্দুর দূরত্ব = │কোটি│ = k
(-5,-7) থেকে (4,k) বিন্দুর দূরত্ব =√(−5−4)2+(−7−k)2
=√81+49+14k+k2
=√130+14k+k2
প্রশ্নমতে, k = √130+14k+k2
⇒ k2 = 130+14k+k2
⇒ k = -(65/7)
4. A(-1,2) ও B(3,-4) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাকে x অক্ষরেখা ও y অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর ।
সমাধান :
মনে করি, x অক্ষরেখা AB কে k:1 অনুপাতে বিভক্ত করে ।
তাহলে উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক ≡ (−1+3kk+1,2−4kk+1)
কিন্তু x অক্ষরেখার উপরস্থিত সকল বিন্দুর কোটি শূণ্য ।
অথাৎ, 2−4kk+1 = 0 ⇒ 2-4k = 0 ⇒ k = ½
∴ x অক্ষরেখা AB কে 1:2 অনুপাতে বিভক্ত করে ।
অনুরূপভাবে, y অক্ষরেখাকে উপরস্থিত সকল বিন্দুর ভুজ শূণ্য ।
অথাৎ, −1+3kk+1 = 0 ⇒ -1+3k = 0 ⇒ k = 1/3
∴ y অক্ষরেখা AB কে 1:3 অনুপাতে বিভক্ত করে ।
শর্টকার্ট:
x অক্ষরেখা AB কে −y1y2=−24=12 অথাৎ 1:2 অনুপাতে বিভক্ত করে
y অক্ষরেখা AB কে −x1x2=−13=13 অথাৎ 1:3 অনুপাতে বিভক্ত করে
5. A, B, C, D বিন্দুদ্বয়ের স্থানাংক (0,-1), (15,2), (-1,2), (4,-5)); CD কে AB রেখাটি যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর ।
সমাধান :
মনে করি, CD কে AB রেখাটি k:1 অনুপাতে বিভক্ত করে ।
তাহলে বিভাগ বিন্দু E এর স্থানাঙ্ক ≡ (4k−1k+1,5k+2k+1)
∵ A, M, B বিন্দুগুলো সমরেখ ।
∴ ∆AMB = 0
⇒1/2|0−114k−1k+1−5k+2k+11⇒∣1521|=0
⇒|0−114k−1−5k+2k+11521|=0
⇒|0014k−1−4k+3k+11531|=0
⇒ 12k-3+60k-45=0
⇒ 72k = 48
⇒ k = 2/3
6. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (5,3) ; এর জ্যা (3,2) যে বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয় তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর
সমাধান :
মনে করি, O (5,3) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB জ্যা C (3,2) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়েছে ।
∴ OC ⊥ AB [বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব ]
OA = 5 [বৃত্তের ব্যাসাধ ]
∴ OC2 = (5-3)2 + (3-2)2 = 5
তাহলে, AOC সমকোণী ত্রিভুজে,
AC2 = OA2-OC2 = 25-5 = 20
⇒ AC = 2√3
∴ AB = 2AC = 4√5
7. একটি বিন্দুর কোটি এর ভুজের দ্বিগুণ । যদি এর দূরত্ব (4,3) থেকে √10 একক হয় তবে বিন্দুটির স্থানাংক নির্ণয় কর ।
সমাধান :
ধরি, ভুজ = x ∴ কোটি = 2x
∴ বিন্দুটির স্থানাংক ≡ (x,2x)
এখন, √(x−4)2+(2x−3)2=√10
⇒ x2-8x+16+4x2-12x+9 = 10
⇒ 5x2-20x+15 = 0
⇒ x2-4x+3 = 0
⇒x2-3x-x+3 = 0
⇒ x(x-3)-1(x-3) = 0
⇒ (x-3)(x-1) = 0
∴ x = 3 অথবা 1
যখন x=3 তখন স্থানাংক ≡ (3,6)
যখন x=1 তখন স্থানাংক ≡ (1,2)
8. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে (6,1), (-1,0), (1,-2) । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত ?
সমাধান :
∴ΔDEF=1/2|−1160−21111|
=1/2|0270−21111|[π′1=π1+π3]
= ½ (2+14) = 8 বর্গ একক
∴ ∆ABC = 4 ∆DEF
= 32 বর্গ একক
অথবা,
⇒ ∆DEF = ½ {2+1+0-(0-12-1)}
= ½ (3+13)
= 8 বর্গ একক
∴ ∆ABC = 4 ∆DEF
= 32 বর্গ একক
9. A ও B বিন্দু দুইটির স্থানাংক যথাক্রমে (-2,4) এবং (4,-5) । AB রেখা C বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল যেন AB = 3BC । C বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর ।
সমাধান :
এখানে, AB = 3BC
⇒ ABBC=31
⇒ AB:BC = 3:1
তাহলে C বিন্দুর স্থানাংক ≡ (x,y) হলে,
3x−23+1=4 এবং 3y+44=−5
⇒ 3x-2 = 16 ⇒ 3y+4 = -20
⇒ x = 6 ⇒ y =-8
∴ C ≡ (6,-8)
ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নসমূহ
1. (-k,2), (0,5) ও (2-k,3) বিন্দুদ্বয় সমরেখ হলে k এর মান কত? [1999-2000]
a. 0
b. 5
c. -14
d. 3
2. যদি (-5,2), (4,5), (7,-4) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হয় তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? [2001-02]
a. 48
b. 46 ½
c. 50 ½
d. 71 ½
3. কোনো ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুসমূহ (-1,-2), (2,5) ও (3,10) হলে তার ক্ষেত্রফল- [2003-04]
a. 10 sq units
b. 15 sq units
c. 4 sq units
d. 18 sq units
4. (x,y), (2,3) ও (5,1) একই সরলরেখায় অবস্থিত হলে- [2005-06]
a. 4x-3y-17 = 0
b. 4x+3y-17 = 0
c. 3x+4y+17 = 0
d. 3x+4y-17 = 0
5. (1,4) ও (9,12) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা যে বিন্দুতে 5:3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তার স্থানাংক- [2005-06]
a. (3,2)
b. (5,5)
c. (6,-6)
d. (-1,1)
6. (2,2-2x), (1,2) এবং (2,6-2x) বিন্দুগুলো সমরেখ হলে b এর মান- [2006-07]
a. -1
b. 1
c. 2
d. -2
7. (1,4) এবং (9,-12) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশ অন্তস্থভাবে যে বিন্দুতে 5:3 অনুপাতে বিভক্ত হয় তার স্থানাংক
a. (6,-6)
b. (3,5)
c. (2,1)
d. (-6,5)
8. A, B, C বিন্দুগুলির স্থানাংক যথাক্রমে (a,bc), (b,ca), (c,ab) হলে ∆ABC এর ক্ষেত্রফল কত? [2009-10]
a. ½ abc
b. ½ (a-b)(b-c)(c-a)
c. ½ (b-a)(b-c)(c-a)
d. ½ 3abc
সমাধান
1. বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।
অর্থাৎ,
1/2|−k02−k2−53111|=0
⇒|−2k2−k−1−73001|=0
⇒ 14+k = 0
⇒ k = -14
∴ anser : c
2.
ক্ষেত্রফল = ½ {(-25-16+7)-(4+35+20)}
= 46 ½ বর্গ একক [N.B: ক্ষেত্রফলের মান ঋণাত্মক হতে পারে না]
∴ anwser :b
3.
ক্ষেত্রফল = ½ {(-5+20-6)-(-4+15-10)}
= 4 sq units
Answer : c
4. বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।
1/2|x25y31111|=0
⇒|x−2−35y−321001|=0[c1′=c1−c2;c′2=c2−c3]
⇒ 2x-4+3y-9 = 0
⇒ 2x+3y-13 = 0
অথবা, সরাসরি (2,3) ও (5,1) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ বের করলেই হবে-
x−22−5=y−33−1
⇒ 2x-4 = -3y+9
⇒ 2x+3y-13 = 0
∴ answer : 2x+3y-13 = 0; not given in the options
5. এখানে, (x1,y1) = (1,4); (x2,y2) = (9,12); m1 = 5; m2 = 3
∴ x = (45+3)/8 = 6
∴ y = (60+12)/8 = 9
∴ answer : (6,9) ; not given in the options
6. প্রশ্নমতে,
1/2|2122−2x2 b−2x111|=0
⇒|0122−b2 b−2x011|=0
⇒|0122−b2 b−2x00−1|=0
⇒ 2-b = 0
⇒ b =2
∴ answer : c
7. নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাংক ≡ (45+38,−60+128)
= (6,-6)
∴ answer : a
8.
ΔABC=1/2|abcbacaab001|
=1/2|a−bb−cc−c(a−b)−a(b−c)caab001|
=1/2(a−b)(b−c)|11c−c−aab001|
= ½ (a-b)(b-c)
= ½ (a-b)(b-c)(c-a)
Answer : b