কণিক (Conics)

বিষয়াবলী

 

• গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব
• গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান

 

সাধারণ ধারণা 

 

কণিক : কার্তেসীয় সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু ও একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা থেকে যে সব বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত একটি ধ্রুবক, তাদের সেই একটি সঞ্চারপথ এবং তাকে কণিক বলা হয় ।

• নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে কণিকের উপকেন্দ্র বা ফোকাস (focus) বলে।
• নির্দিষ্ট সরলরেখাটিকে কণিকের দিকাক্ষ বা নিয়ামক (directrix) বলে ।
• ধ্রুব অনুপাতটিকে উৎকেন্দ্রিকতা (eccentricity) বলা হয় এবং দ্বারা e সূচিত করা হয় ।
• e এর বিভিন্ন মানের জন্য সঞ্চারপথের আকৃতি ভিন্ন হয় ।

• e = 0 হলে সঞ্চারপথ হয় বৃত্ত (circle)
• 0 < e  < 1 হলে সঞ্চারপথ হয় উপবৃত্ত (ellipse)
• e = 1 হলে সঞ্চারপথ হয় পরাবৃত্ত (parabola)
• e  > 1 হলে সঞ্চারপথ হয় অধিবৃত্ত (hyperbola)

 

• পরাবৃত্ত (Parabola) সম্পর্কিত কিছু সংজ্ঞা:

অক্ষরেখা (Axis of symmetry): উপকেন্দ্রের মধ্য দিয়ে দিকাক্ষের উপর অঙ্কিত লম্ব রেখাটিকে পরাবৃত্তের অক্ষরেখা বলা হয়।
শীর্ষবিন্দু (Vertex):  পরাবৃত্ত ও অক্ষরেখার ছেদ বিন্দুকে পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু বলা হয়।
উপকেন্দ্রিক দূরত্ব (Focal distance):  উপকেন্দ্র থেকে পরাবৃত্তের যেকোনো বিন্দুর দূরত্বকে উপকেন্দ্রিক দূরত্ব বা ফোকাস দূরত্ব বলা হয়।
উপকেন্দ্রিক জ্যা (Focal chord): পরাবৃত্তের যে জ্যা উপকেন্দ্র দিয়ে গমন করে তাকে উপকেন্দ্রিক জ্যা বলে।
উপকেন্দ্রিক লম্ব (Latus rectum): উপকেন্দ্রিক জ্যা অক্ষের উপর লম্ব হলে তাকে উপকেন্দ্রিক লম্ব বা নাভিলম্ব বলে।

 

• y² = 4ax পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে :

• শীর্ষবিন্দু, (0,0)
• উপকেন্দ্র, (a,0)
• দিকাক্ষের সমীকরণ, x = -a
• অক্ষরেখার সমীকরণ, y = 0
• উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, = 4a
• উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, x = a

 

• y² = -4ax পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে :

 

• (0,0)
• (-a,0)
• x = a
• y = 0
• 4a
• x = -a

 

• x² = -4ay পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে :

 

• (0,0)
• (0,a)
• y = -a
• x = 0
• 4a
• y = a

 

• x² = -4ay পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে :

 

• (0,0)
• (0,-a)
• y = a
• x = 0
• 4a
• y = -a

 

উপবৃত্ত (Ellipse)

 

 

 

 

অধিবৃত্ত (hyperbola)

• • x²/a² + y²/b² = 1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রে : (যখন a>b)
  • কেন্দ্রের স্থানাংক (0,0)
  • বৃহৎ অক্ষ (major axis) = 2a
  • ক্ষুদ্র অক্ষ (minor axis) = 2b
  • উপকেন্দ্রের সমীকরণ (±ae,0)
  • বৃহৎ অক্ষের সমীকরণ, y = 0
  • ক্ষুদ্র অক্ষের সমীকরণ, x = 0
  • দিকাক্ষের সমীকরণ, x = ± (a/e)
  • উৎকেন্দ্রিকতা, e² = (a²-b²) / a²
  • উপকেন্দ্রিক লম্ব = 2b² / a

   

  • x²/a² + y²/b² = 1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রে : (যখনa<b)
  • (0,0)
  • 2b
  • 2a
  • (0,±b e)
  • x = 0
  • y = 0
  • y = ± (b/ e)
  • e² = (b²-a²) / b²
•  

• • x²/a² - y²/b² = 1 অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে :
  • কেন্দ্রের স্থানাংক (0,0)
  • উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাংক (e,0)
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক (±a,0)
  • দিকাক্ষের সমীকরণ, x = ±(a/e)
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = 2b2/a
  • উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, x = ±ae
  • উৎকেন্দ্রিকতা, e² = (a²+b²) / a²
  • আড় অক্ষের সমীকরণ, y = 0
  • অনুবন্ধী অক্ষের সমীকরণ, x = 0
  • আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য = 2a
  • অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য = 2b

   

  • y²/b² - x²/a² = 1 অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে :
  • (0,0)
  • (0,±be)
  • (0,±b)
  • y = ±(b/e)
  • 2b²/a
  • y = ±be
  • e² = (b²+a²)/b²
  • x = 0
  • y = 0
  • 2b
  • 2a

 

গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান 

1. 5x² + 15x – 10y – 4 = 0 পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্ব, অক্ষরেখা এবং দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর ।

 

সমাধান:

 

এখানে, 5x² + 15x – 10y – 4 = 0
          ⇒ 5(x²+3x) – 10y – 4 = 0
          ⇒ 5 (x² + 2.x.3/2 + 9/4) – 5.9/4 – 10y – 4 = 0
          ⇒ 5 (x + 3/2 )² = 10y + 61/4
          ⇒ (x + 3/2)² = 2 (y + 61/40)     ...(i)

 

ধরি, x + 3/2 = X  এবং y + 61/40 = Y

∴ (i) ⇒ x² = 2y ⇒ x² = 4 . 1/2 . y

x² = 4ay পরাবৃত্তের সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

শীর্ষবিন্দুর ভুজ, x = 0 ⇒ x + 3/2 = 0 ⇒ x = - 3/2

শীর্ষবিন্দুর কোটি, y = 0 ⇒ y + 61/40 = 0 ⇒ y = - 61/40

∴ শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক ≡ (-3/2, -61/40)                    [ans.]

উপকেন্দ্রের ভুজ, x = 0 ⇒ x  + 3/2 = 0 ⇒ x = -3/2

উপকেন্দ্রের কোটি,y = a = ½
                      ⇒ y + 61/40 = ½ ⇒ y = -41/40

∴ উপকেন্দ্রের স্থানাংক ≡ (-3/2, - 41/40)                 [ans.]

অক্ষরেখার সমীকরণ, x = 0 ⇒ x + 3/2 = 0             [ans.]

 

দিকাক্ষের সমীকরণ, y = -a = -1/2
⇒ y + 61/40 + ½ = 0 ⇒ y + 81/40 = 0             [ans.]

 

2. (1,1) উপকেন্দ্র ও 3x+4y = 1 দিকাক্ষবিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর । তার অক্ষের সমীকরণও বের কর ।

 

সমাধান:

 

ধরি, P (x,y) পরাবৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দু । P থেকে উপকেন্দ্রের দূরত্ব PS এবং দিকাক্ষের লম্ব দূরত্ব PM হলে,
PS = ePM
⇒ PS = PM                   [পরাবৃত্তের জন্য e=1]

$\Rightarrow \sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}=\frac{|3 x+4 y-1|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}$

[(x₁,y₁) ও (x₂,y₂) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = $\sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}\right)^{2}+\left(\mathrm{y}_{1}-\mathrm{y}_{2}\right)^{2}}$ ; (x₁,y₁)  থেকে
ax+by+c = 0সরলরেখার দূরত্ব = $\frac{\left|\mathrm{ax}_{1}+\mathrm{by}_{1}+\mathrm{c}\right|}{\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}}}$ ]

⇒ (x-1)² + (y-1) = (3x+4y-1)² / 3²+4²
⇒ 25x²+ 25y²-50x-50y+50 = 9x²+16y²+1+24xy-8y-6x
⇒ 16x²+9y²-44x-42y+49-24xy = 0
⇒ (4x-3y)²-44x-42y+49 = 0                [Answer]

অক্ষ দিকাক্ষের উপর উপর লম্ব । তাই অক্ষের সমীকরণ হবে,
4x-3y+k = 0                 [ax+by+c = 0 রেখার লম্ব রেখার সমীকরণ, bx-ay+k = 0]
∵ অক্ষ (1,1) বিন্দুগামী,
∴ 4(1)-3(1)+k = 0
⇒ k = -1
∴ অক্ষের সমীকরণ, 4x-3y-1 = 0  

            [ans.]

 

3. 16x²+25y² = 400 উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, উপকেন্দ্র, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য এবং উপকেন্দ্রিক লম্ব ও দিকাক্ষের সমীকরণ নির্ণয় কর ।

 

সমাধান:

 

এখানে, 16x²+25y² = 400
⇒ x²/25 + y²/16 = 1
∴ a = 5   এবং b = 4
∵ a>b  ∴ e² = (a²-b²)/a²   = 9/25
⇒ e = 3/5         [e ঋণাত্মক হতে পারে না]             [ans.]
উপকেন্দ্রের স্থানাংক ≡ (±e,0) = (±3,0)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = 2b²/a  = 32/5                             [ans.]
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, x = ±e          ⇒ x = ±3                     [ans.]
দিকাক্ষের সমীকরণ, x = (±a/e)    ⇒ x = ± 25/3                 [ans.]

 

 

4. x²-3y²-2x = 8 অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, কেন্দ্রের স্থানাংক এবং অক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ।

 

সমাধান:

 

এখানে, x²-3y²-2x = 8
⇒ (x2-2x.1+1)-3y2 = 8+1
⇒ (x-1)²-3y² = 9
⇒ (x-1)² / 9 – y²/3 = 1
∴ a² = 9 ; b² = 3
∴  2 = (a²+b²) / a²   = 4/3
∴ e = 2/√3                                            [ans.]

 

কেন্দ্রের ভুজ, x-1 = 0   ⇒ x = 1
কেন্দ্রের কোটি, y = 0
∴ কেন্দ্রের স্থানাংক ≡ (1,0)             [ans.]
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য = 2a = 6                       [ans.]
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য = 2b = 2√3  [ans.]