অন্তরীকরণ

গানিতিক সমস্যা ও সমাধান 

• Type – 1 : সরল অন্তরীকরণ 

উদাহরণ- ১ :

$\frac{d}{d x}(\operatorname{sink})=?$
$=2 \operatorname{sink} \operatorname{cosk}$

বিঃদ্রঃ $\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d x} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x}$ এই সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে ।

 

উদাহরণ- ২ :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\log _{5} \mathrm{x}\right)=\frac{1}{\mathrm{k}} \log _{5} \mathrm{c}$         [সরাসরি সূত্র প্রয়োগ করে]

 

উদাহরণ- ৩ :

$\mathrm{y}=\tan ^{-1}\left\{\tan \left(2 \mathrm{x}^{2}+3\right)\right\}$ হলে, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$ = ?

আমরা জানি, $\tan ^{-1}=\theta ; \tan ^{-1}$ ও $tan$ কাটাকাটি হয় ।

একইভাবে, $\sin \theta, \cos \theta, \sec \theta, \operatorname{cosec} \theta, \operatorname{cat} \theta$ এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

সুতরাং বাকি থাকছে, $2 x^{2}+3$

$\therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(2 \mathrm{x}^{2}+3\right)=4 \mathrm{x}$                [Answer]

 

উদাহরণ- ৪ :

$\mathrm{y}=\sqrt{\sin ^{2}} \mathrm{k}$ হলে, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$ = ?

$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$ = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}$ (sin²x)

$=\frac{1}{2 \sqrt{\sin ^{2} k}} \cdot \cos ^{2} \mathrm{k} \cdot 2$

$=\frac{\cos ^{2} k}{\sqrt{\sin ^{2} k}}$

এক্ষেত্রেও $\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d x} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x}$ এই সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে ।

 

Type – 2 : সংযোজিত ফাংশনের অন্তরীকরণ 

উদাহরণ- ১ :

$y = ln(cosx)$ হলে, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$ = ?

$\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\ln (\cos \mathrm{x}))=\left(\frac{1}{\operatorname{cosx}}\right) \cdot-\sin x \cdot 1=-\left(\frac{\operatorname{sinx}}{\operatorname{cosx}}\right)=-\tan \mathrm{x}$

 

উদাহরণ- ২ :

y = sine^x হলে, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$ $= ?$

$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\sin \mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right)=\operatorname{cose}^{\mathrm{x}} \cdot\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right) e^{\mathrm{x}}$

$=e^{x} \cdot \operatorname{cosec}^{x}$       [Answer]

 

উদাহরণ- ৩ :

$(2-3 x)^{1 / 3}$ হলে, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$ = ?

$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(2-3 \mathrm{x})^{1 / 3}$

$=2 / 3 \cdot(2-3 x)^{2 / 3-1} \cdot 3$

$=2(2-3 x)^{-1 / 3}$                                      [Answer]

 

Type – 3 : দুটি ফাংশনের গুণফল থাকলে :

এক্ষেত্রে $\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mathrm{x}}\right)(\mathrm{uv})=\mathrm{u}\left(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{d} \mathrm{x}}\right)+\mathrm{v}\left(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\right)$ এই সূত্রটি প্রয়োগ করতে হয় ।

উদহারণ- ১ :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{nm}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right) \sin \mathrm{x}+\sin \mathrm{x}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$

$=e^{x} \cos x+e^{x} \sin x$

 

উদাহরণ- ২ :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\sin \mathrm{x} \cos \mathrm{x})=\sin \mathrm{x}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right) \cos \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{du}}\right) \sin \mathrm{x}$

$=\sin x \cdot-\sin x+\cos x \cdot \cos x$
$=-\sin ^{2} x+\cos ^{2} x$
$=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x$
$=\cos ^{2} x$           [Answer]

 

উদাহরণ- ৩ :

$\left(\frac{d}{d u}\right)\left\{e^{-x}\left(5 x^{2}+7\right)\right\}$
$=e^{-x}\left(\frac{d}{d x}\right)\left(5 x^{2}+7\right)+\left(5 x^{2}+7\right)\left(\frac{d}{d x}\right) e^{-x}$
$=e^{-x} \cdot 0$
$=0$                            [Answer]

 

উদাহরণ- ৪ :

$\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)\left(2 \mathrm{x}^{2}+9 \mathrm{x}\right)\left(3 \mathrm{x}^{3}-4 \mathrm{x}^{2}\right)$

$\Rightarrow\left(2 \mathrm{x}^{2}+9 \mathrm{x}\right)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)\left(3 \mathrm{x}^{3}-4 \mathrm{x}^{2}\right)+\left(3 \mathrm{x}^{3}-4 \mathrm{x}^{2}\right)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)\left(2 \mathrm{x}^{2}+9 \mathrm{x}\right)$

$\Rightarrow\left(2 \mathrm{x}^{2}+9 \mathrm{x}\right)\left(9 \mathrm{x}^{2}-8 \mathrm{x}\right)+\left(3 \mathrm{x}^{3}-4 \mathrm{x}^{2}\right)(4 \mathrm{x}+9)$        [Answer]

 

• Type – 4 : ফাংশনের Power ফাংশন থাকলে 

এক্ষেত্রে প্রদত্ত ফাংশনটিকে ৬ ধরে নিয়ে পরবর্তীতে লগারিদম নিতে হয় । তারপর স্বাভাবিক অন্তরীকরণ করলেই চলবে ।

উদারহণ- ১ : $x^x $ এর অন্তরীকরণ কর ।

ধরি, $y = x^x $

$\Rightarrow$ Iny $=\operatorname{In} x^{x}=x \operatorname{In} x$

$\Rightarrow\left(\frac{d}{d x}\right)($ Iny $)=\left(\frac{d}{d x}\right)(x \operatorname{In} x)$

$\Rightarrow\left(\frac{1}{y}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)=x \cdot\left(\frac{1}{x}\right)+\operatorname{In} x \cdot 1$   [$\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{du}}\right)(\mathrm{uv})$ এই সূত্র প্রয়োগ করে] 

$\Rightarrow\left(\frac{1}{y}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)=1+\operatorname{In} x$

$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=y(1+\operatorname{In} x)=x^{x}(1+\operatorname{In} x)$            [Answer]

 

উদাহরণ- ২ : $x^xInx$ এর অন্তরক সহগ :

ধরি, $y = x^xInx$

$\Rightarrow \operatorname{Iny}=\operatorname{In}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{x}} \cdot \operatorname{In} \mathrm{x}\right)=\operatorname{In} \mathrm{x}^{\mathrm{x}}+\operatorname{In}(\operatorname{In} \mathrm{x})$

$\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)(\operatorname{Iny})=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)\left\{\operatorname{In} \mathrm{x}^{\mathrm{x}}+\operatorname{In}(\operatorname{In} \mathrm{x})\right\}$

$\Rightarrow\left(\frac{1}{\mathrm{y}}\right)\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{du}}\right) \mathrm{xIn} \mathrm{x}+\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{du}}\right)\{\operatorname{In}(\operatorname{In} \mathrm{x})\}$

             $=\mathrm{x} \cdot\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)+\operatorname{In} \mathrm{x} .1+\left(\frac{1}{\mathrm{In} \mathrm{x}}\right) \cdot\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)$
             $=1+\operatorname{In} \mathrm{x}+\left(\frac{1}{\operatorname{In} \mathrm{x}}\right)$
$\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)=\mathrm{y}\left\{1+\operatorname{In} \mathrm{x}+\left(\frac{1}{\mathrm{xIn} \mathrm{x}}\right)\right\}$
            $=x^{x} \operatorname{In} x\left\{1+\operatorname{In} x+\left(\frac{1}{x \operatorname{In} x}\right)\right\}$                     [Answer]

 

উদাহরণ- ৩ : $3^{x^{3}+3}$ এর অন্তরক সহগ :

ধরি, $y=3^{x^{3}+3}$

$\Rightarrow \operatorname{Iny}=\operatorname{In} 3^{x^{3}+3}$

$\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{du}}\right) \operatorname{Iny}=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)\left\{\operatorname{In} 3^{\left(x^{3}+3\right)}\right\}$

$\Rightarrow\left(\frac{1}{y}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)=\left(\frac{d}{d x}\right)\left\{\left(x^{3}+x\right) \operatorname{In} 3\right\}$

$\Rightarrow\left(\frac{1}{y}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)=\left(x^{3}+3\right)\left(\frac{d y}{d x}\right) \operatorname{In} 3+\operatorname{In} 3 .\left(\frac{d y}{d x}\right)\left(x^{3}+3\right)$

$\Rightarrow\left(\frac{1}{y}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)=\left(x^{3}+3\right) \cdot 0+\operatorname{In} 3.3 x^{2}$

$\Rightarrow\left(\frac{1}{y}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)=3 x^{2} \operatorname{In} 3$

$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=y \cdot 3 x^{2} \operatorname{In} 3$

$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=3^{x^{3}+3} .3 x^{2} \operatorname{In} 3$          [Answer]

 

• Type – 5 : implicit ফাংশনের অন্তরীকরণ 

উদাহরণ- ১ :

$x^{2}+y^{2}=1$
$\Rightarrow\left(\frac{d}{d x}\right) x^{2}+\left(\frac{d}{d x}\right) y^{2}=\left(\frac{d}{d x}\right) .1$
$\Rightarrow 2 x+\left(\frac{d}{d y}\right) y^{2}\left(\frac{d y}{d x}\right)=0$
$\Rightarrow 2 x+2 y \cdot\left(\frac{d}{d x}\right)=0$
$\therefore \frac{d y}{d x}=-\frac{x}{y}$               [Answer]

 

উদাহরণ- ২ :

$x^{3}+y^{3}=3 x y$ হলে, $\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)=?$

$\left(\frac{\mathrm{d}}{d x}\right)\left(x^{3}+y^{3}\right)=3 x y$
$\Rightarrow 3 x^{2}+\left(\frac{d}{d x}\right) y^{3}=3 \quad\left[x \cdot\left(\frac{d y}{d x}\right)+y \cdot 1\right]$
$\Rightarrow 3 x^{2}+3 y^{2}\left(\frac{d y}{d x}\right)=3 x \quad\left(\frac{d y}{d x}\right)+y$

$\Rightarrow\left(3 y^{2}-3 x\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)=3 x\left(\frac{d y}{d x}\right)+y$
$\Rightarrow\left(3 y^{2}-3 x\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)=y-3 x^{2}$
$\Rightarrow\left(\frac{d y}{d x}\right)=\left(y-3 x^{2}\right)\left(3 y^{2}-3 x\right)$                [Answer]

 

উদাহরণ- ৩ :

$x+x y+y^{2}=1$ হলে, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=?$

$\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{du}}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{xy}+\mathrm{y}^{2}\right)=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{du}}\right) \cdot 1$
$\Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{x} \cdot\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)+\mathrm{y} \cdot 1+2 \mathrm{y}\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)=0$
$\Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{x}\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)+\mathrm{y}+2 \mathrm{y}\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)=0$
$\Rightarrow(\mathrm{x}+2 \mathrm{y})\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)=-(\mathrm{x}+\mathrm{y})$
$\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)=-\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{\mathrm{x}+2 \mathrm{y}}$                        [Answer]

 

উদাহরণ- ৪ :

$y=\cos (2 k+x)$ হলে, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} \mathrm{x}}=?$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)\{\cos (2 \mathrm{x}-2 \mathrm{y})\}$

$\quad=-\sin (2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}) \cdot\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\right)(2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y})$

$\quad=-\sin (2 \mathrm{x}+3) \cdot 2+2\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)$

$\therefore \quad\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)=2 \sin (2 \mathrm{x}+3)$                            [Answer]

 

• Type – 6 : পরামিতিক সমীকরণের অন্তরীকরণ 

যদি x এবং y এর মধ্যবর্তী সম্পর্ককে সোজাসুজি কোন সমীকরণের আকারে ব্যক্ত না করে তৃতীয় কোন চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, তাহলে x ও y এর সমীকরণ দুটিকে একত্রে পরামিতিক সমীকরণ বলে এবং তৃতীয় চলককে parameter বা পরামিতি বলে ।

এক্ষেত্রে প্রথমে x ও y ফাংশনকে parameter এর সাহায্যে অন্তরীকরণ করতে হয় এবং পরে dy/dx বের করতে হয় ।

উদাহরণ- ১ 

$x = cosθ$ এবং $y = sinθ$ হলে, $\frac{d y}{d x}=?$

$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \theta}=-\sin \theta$ এবং $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{d} \theta}=\cos \theta$

$\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=-\tan \theta$                          [Answer]

 

উদাহরণ- ২ 

$x=1+t^{2}$
$y=1-t^{3}$

$\frac{d x}{d t}=1 ` 2 t$

$\frac{d y}{d t}=1-2 t^{2}$

$\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d x}{d t}}{\frac{d y}{d t}}$

$=\frac{1+2 t}{1-2 t^{2}}$                     [Answer]

 

উদাহরণ- ৩ 

$\mathrm{y}=\mathrm{a} \sin \theta$

$x=a \cos \theta$ হলে, (-1,1) বিন্দুতে $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=?$

$\frac{d y}{d \theta}=a \cos \theta$

$\frac{d x}{d \theta}=-a \sin \theta$

$\therefore \frac{d y}{d x}=\frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta}$

$=-\frac{y}{x}$

$\therefore(-1,1)$ বিন্দুতে $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\left(\frac{-1}{1}\right)=1$      [Answer]

 

• Type – 7 : ফাংশনের সাপেক্ষে ফাংশনের অন্তরক 

উদাহরণ- ১ :

$Inx$ এর সাপেক্ষে $sinx$ এর অন্তরক নির্ণয় কর ।

ধরি, $u = Inx$

       $\mathrm{V}=\theta \sin \mathrm{x}$

$\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{du}}=\frac{\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{du}}}{\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}}$

$=\frac{\cos \mathrm{x}}{\frac{1}{\mathrm{x}}}$

$=\mathrm{X} \cos \mathrm{x}$              [Answer]

 

উদাহরণ- ২ :

$sinx$ এর সাপেক্ষে $cos²x$ এর অন্তরীকরণ :

ধরি, $u = sinx$

       $\mathrm{v}=\cos ^{2} \mathrm{x}$

$\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{du}}=\frac{\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{du}}}{\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}}$

$=\frac{\frac{d}{d x} \cos ^{2} x}{\frac{d}{d x} \sin x}$

$=\frac{-\sin x^{2} \cdot 2 x}{\cos x}$

$=\frac{-2 x \sin x^{2}}{\cos x}$            [Answer]