প্রয়োজনীয় তথ্যাদি
1. $\lim (\sin \theta / \theta)=\lim (\theta / \sin \theta)=1$
$\theta \rightarrow 0 \quad \theta \rightarrow 0$
2. $\lim (\tan \theta / \theta)=\lim (\theta / \tan \theta)=1$
$\theta \rightarrow 0 \quad \theta \rightarrow 0$
3. $\lim \left(x^{\mathrm{n}}-\mathrm{a}^{\mathrm{n}} / \mathrm{X}-\mathrm{a}\right)=\mathrm{na}^{\mathrm{n}-1}$
$\mathrm{x} \longrightarrow \mathrm{a}$
4. $\lim \left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1 / \mathrm{x}\right)=1$
$\mathrm{x} \longrightarrow \mathrm{0}$
5. $\lim (1+x)^{1 / x}=\lim (1+1 / x)^{x}=e$
$\mathrm{x} \rightarrow 0 \quad \mathrm{x} \rightarrow \alpha$
কিছু শর্টকার্ট
1. $\lim \left(\tan ^{-1} \mathrm{x} / \mathrm{x}\right)=\lim \left(\mathrm{x} / \tan ^{-1} \mathrm{x}\right)=1$
$\mathrm{x} \rightarrow 0 \quad \mathrm{x} \rightarrow 0$
2. $\lim \left(\sin ^{-1} x / x\right)=\lim \left(x / \sin ^{-1} x\right)=1$
$\mathrm{x} \rightarrow 0 \quad \mathrm{x} \rightarrow 0$
L’ Hopitals Rule : কোনো অংক যদি $\lim (x \rightarrow a) \frac{f(x)}{g(x)}$ আকারে থাকে এবং $\mathrm{x}=\mathrm{a}$ বসালে যদি $\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{g}(\mathrm{x})}$ এর মান $0 / 0$ আকারে আসে তাহলে এই Rule প্রয়োগ করা হয় । এক্ষেত্রে যতোবার $0 / 0$ আকারে আসবে ততবার অন্তরীকরণ করতে হবে ।
Type- 1
$\lim (x \rightarrow 2) \frac{x 3-8}{x-2}$
$=\lim (x \rightarrow 2) \frac{(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right)}{x-2}$
$=\lim (x \rightarrow 2)\left(x^{2}+2 x+4\right)=4+4+4=12$ [Answer]
এই অংকটি L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করেও খুব সহজে সমাধান করা যায় । কারণ, উপর নিচে $u = 2$ বসালে $0 / 0$ আকারে আসে ।
$\lim (x \rightarrow 2) \frac{x^{3}-8}{x-2}$
$=\lim (x \rightarrow 2) \frac{3 x^{2}}{1}$
$=3.2^{2}$
$=12$ [Answer]
Type- 2
$\lim (x \rightarrow \alpha) \frac{f(x)}{g(x)}$ আকারে বসালে সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট রাশি উপর ও নিচ হতে common নিয়ে সরল করে limiting point পরে বসাতে হবে ।
উদাহ্রণ:
$\lim (x \rightarrow \alpha) \frac{x^{2}+5}{3 x^{2}+2 x+1}$
$=\lim (x \rightarrow \alpha) \frac{x^{2}\left(1+\frac{5}{x}\right)}{x^{2}\left(x+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}$
$=\lim (x \rightarrow \alpha) \frac{1+\frac{5}{x}}{x+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}$
$=(1+0) /(3+0+0)$
$=1 / 3$ [Answer]
Note : something/α = 0
Type- 3
$\lim (1+a x)^{1 / a x}=\lim (1+1 / b x)^{b x}=e$
$\mathrm{x} \rightarrow 0 \quad \mathrm{x} \rightarrow \alpha$
সূত্রটির ব্যবহার
i. $\begin{array}{ll} & \lim (1+5 x)^{1 / x} \\ & x \rightarrow 0 \\ & =\lim (1+5 x)^{1 / 5 x .5} \\ & x \rightarrow 0 \\ & =e^{5}\end{array}$
[Answer]
ii. $\lim _{,}(1+1 / 3 x)^{9 x}$
$\mathrm{X} \longrightarrow \alpha$
$=\lim (1+1 / 3 x)^{3 x \cdot 3}$
$x \rightarrow \alpha$
$e^{3}$ [Answer]
Type- 4
উদাহ্রণ - ১:
$\lim (x \rightarrow 0) \frac{1-\cos 3 x}{3 x^{2}}$
অংকটিতে, $x = 0$ বসালে $0 / 0$ আসে । তাই L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করা যায় ।
$\lim (x \rightarrow 0) \frac{1-\cos 3 x}{3 x^{2}}$
$\lim (x \rightarrow 0) \frac{3 \sin 3 x}{6 x}$ [differentiate করে]
এখনও এটি $0/0$ আকারে আছে । সুতরাং পুনরায় অন্তরীকরণ করে,
$\lim (x \rightarrow 0) \frac{9 \cos 3 x}{6}$
এখন, $ x = 0$ বসালে আমরা পাই $\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$ । এটিই উত্তর ।
উদাহ্রণ - ২ :
$\lim (x \rightarrow \pi / 2) \frac{1-\sin x}{\cos x} \quad[0 / 0$ form $]$
$=\lim (x \rightarrow \pi / 2) \frac{-\cos x}{\sin x} \quad[$ not $0 / \mathrm{0}$ form $]$
$=\frac{-\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}}$
$=0 / 1=0$ [Answer]
উদাহ্রণ - ৩ :
$\lim (x \rightarrow 0) \frac{1-\cos x}{x^{3}} \quad[0 / 0$ form $]$
$=\lim (\mathrm{x} \rightarrow 0) \frac{\sin \mathrm{x}}{3 \mathrm{x}} \quad[0 / 0$ form $]$
$=\lim (x \rightarrow 0) \frac{\cos x}{3} \quad[$ not $0 / 0$ form $]$
$=1 / 3$ [Answer]
Type- 5
$\lim (x \rightarrow 0) \frac{\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)}}{f(x)}$ আকারে থাকলে, লবে $±$ এর স্থানে যে চিহ্ন থাকবে তার বিপরীত চিহ্নের রাশি দিয়ে লব হরকে গুণ করতে হবে ।
উদাহ্রণ - ১ :
$\lim (x \rightarrow 0) \frac{\sqrt{1+5 x}-\sqrt{1-7 x}}{2 x}$
$=\lim (x \rightarrow 0) \frac{(\sqrt{1+5 x}+\sqrt{1-7 x})(\sqrt{1+5 x}-\sqrt{1-7 x})}{2 x(\sqrt{1+5 x}+\sqrt{1-7 x})}$
$=\lim (x \rightarrow 0) \frac{1+5 x-1=7 x}{2 x(\sqrt{1+5 x}+\sqrt{1-7 x})}$
$=\lim (x \rightarrow 0) \frac{12}{2(\sqrt{1+5 x}+\sqrt{1-7 x})}$
$=6 / 4=3 / 2$ [Answer]
Type- 6
$\lim (x \rightarrow a) \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}$ সূত্রের ব্যবহার :
$\lim (x \rightarrow a) \frac{x^{3 / 2}-a^{3 / 2}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}$
$=\lim (x \rightarrow a) \frac{(\sqrt{x})^{3}-(\sqrt{a})^{3}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}$
$=3(\sqrt{a})^{3-1}$
$=3 a$ [Answer]
ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নোত্তর
1. $\lim (x \rightarrow 0) \frac{\sin (2 x)^{2}}{x}$
$=\lim (x \rightarrow 0) \frac{\sin 4 x^{2}}{x}$
$=0$ [Answer]
2. $\lim (x \rightarrow 0) \frac{\tan ^{-1} 2 x}{x}$
$=\lim (x \rightarrow 0) \frac{\tan ^{-1} 2 x}{2 x} .2$
$=1.2$
$=2$ [Answer]
3. $\lim (\mathrm{x} \rightarrow 0) \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}}{2 \mathrm{x}} \quad[0 / 0$ form $]$
$=\lim (\mathrm{x} \rightarrow 0) \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}}{2}$
$=2 / 2$
$=1$ [Answer]
4. $\tan ^{-1} x / x=1$ [Answer]
5. $\lim (x \rightarrow 0) \frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}{x}$
$=\lim (x \rightarrow 0) \frac{(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})(\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x})}{x(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})}$
$=\lim (x \rightarrow 0) \frac{3+x-3+x}{x(\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x})}$
$=\lim (x \rightarrow 0) \frac{2}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}$
$=2 / 2 \sqrt{3}$
$=1 / \sqrt{3}$ [Answer]
6. $\lim (x \rightarrow 0) \frac{x\left(\cos x+\cos ^{2} x\right)}{\sin x}$
এখানে যেহেতু $0 / 0$ form সুতরাং L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করে সহজেই উত্তর পাওয়া যায় । উত্তর হবে 2
7. $\lim (x \rightarrow \pi / 2) \frac{1-\sin x}{\cos x} \quad[0 / 0$ form $]$
$=\lim (x \rightarrow \pi / 2) \frac{0-\cos x}{-\sin x}$
$=\lim (x \rightarrow \pi / 2)$
$=\cot \pi / 2$
$=0$ [Answer]
8. $\lim (x \rightarrow 0) \frac{\sin 3 x}{3 x}$
$=\lim (x \rightarrow 0) \frac{\sin 3 x}{3 x} \cdot 3$
$=1.3$
$= 3$ [Answer]