āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āϧāĻžāϰāĻŖāĻž 

  • āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻĒāĻĻā§€ āϰāĻžāĻļāĻŋ : āĻĻ⧁āχāϟāĻŋ āĻĒāĻĻāϝ⧁āĻ•ā§āϤ āϰāĻžāĻļāĻŋāϕ⧇ āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻĒāĻĻ āϰāĻžāĻļāĻŋ āĻŦāϞ⧇ āĨ¤ āϝ⧇āĻŽāύ : (a+b), (x+a) āĻĒā§āϰāϭ⧃āϤāĻŋ
  • āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻĒāĻĻā§€ āωāĻĒāĻĒāĻžāĻĻā§āϝ : āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻĒāĻĻā§€ āωāĻĒāĻĒāĻžāĻĻā§āϝ āĻšāϞ⧋ āĻāĻ•āϟāĻŋ āĻŦā§€āϜāĻ—āĻžāĻŖāĻŋāĻ¤ā§€ā§Ÿ āϏ⧂āĻ¤ā§āϰ āϝāĻžāϰ āϏāĻžāĻšāĻžāĻ¯ā§āϝ⧇ āĻāĻ•āϟāĻŋ āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻĒāĻĻ āϰāĻžāĻļāĻŋāϰ āϝāĻž āϕ⧋āύ⧋ āĻļāĻ•ā§āϤāĻŋ āĻŦāĻž āĻŽā§‚āϞāϕ⧇ āĻāĻ•āϟāĻŋ āϧāĻžāϰāĻžā§Ÿ āĻĒā§āϰāĻ•āĻžāĻļ āĻ•āϰāĻž āϝāĻžā§Ÿ āĨ¤
  • (a+x)n āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋ : n∈N āĻšāϞ⧇,

(a+x)n = nc0an+nc1an-1x+nc2an-2x2+......+ncran-rxr+......+xn ...(i)

āĻ…āύ⧁āϏāĻŋāĻĻā§āϧāĻžāĻ¨ā§āϤ 

1. (i) āĻ x āĻāϰ āĻĒāϰāĻŋāĻŦāĻ°ā§āϤ⧇ -x āĻŦāϏāĻŋā§Ÿā§‡ āĻĒāĻžāχ,

(a-x)n = an-nc1an-1x+nc2an-2x2-......+(-1)rncran-rxr+......+(-1)nxn ...(ii)

āϞāĻ•ā§āώāĻŖā§€ā§Ÿ, (a+x)n āĻ“ (a-x)n āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ āĻĒāĻĻāϗ⧁āϞ⧋āϰ āϏāĻžāĻ‚āĻ–ā§āϝāĻŋāĻ• āĻŽāĻžāύ āĻāĻ•āχ āĻļ⧁āϧ⧁ āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋ n āĻāϰ āĻœā§‹ā§œ āĻ“ āĻŦāĻŋāĻœā§‹ā§œ āĻŽāĻžāύ⧇āϰ āϜāĻ¨ā§āϝ āĻĒāĻĻāϟāĻŋāϰ āϚāĻŋāĻšā§āύ āϝāĻĨāĻžāĻ•ā§āϰāĻŽā§‡ āϧāύāĻžāĻ¤ā§āĻŽāĻ• āĻ“ āĻ‹āύāĻžāĻ¤ā§āĻŽāĻ• āĻšā§Ÿ āĨ¤

2. a = 1 āĻāϰ āϜāĻ¨ā§āϝ (i) āĻĨ⧇āϕ⧇ āĻĒāĻžāχ,

(1+x)n = 1+nc1x+nc2x2+......+ncrxr+......+xn

     = 1+(n/1!)x+(n/2!)(n−1)x2+â€Ļâ€Ļ.+n(n−1)(n−2)â€Ļ(n−r+1)r!xr+â€Ļ..+xn

a = 1 āĻāϰ āϜāĻ¨ā§āϝ (ii) āĻĨ⧇āϕ⧇ āĻĒāĻžāχ,

(1-x)n = 1-nc1x+nc2x2-......+(-1)rcrxr+......+(-1)nxn

     = 1 – (n/1!)x + (n/2!)(n-1)x2 - ....... + (-1)r{n(n-1)(n-2)......(n-r+1)}/r! + ...... + (-1)xxn

  • (a+x)n āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϰ āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ (general term) :

(a+x)n āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϰ āĻĒāĻĻāϗ⧁āϞ⧋āϕ⧇ āĻĒā§āϰāĻĨāĻŽ āĻĨ⧇āϕ⧇ āϧāĻžāϰāĻžāĻŦāĻžāĻšāĻŋāĻ•āĻ­āĻžāĻŦ⧇ T1, T2, ..., Tr, Tr+1 āĻĻā§āĻŦāĻžāϰāĻž āϏ⧂āϚāĻŋāϤ āĻ•āϰāϞ⧇ āĻĒāĻžāχ,

T1 = nc0an-0x0 = an

T2 = nc1an-1x1

T3 = nc2an-2x2

 

 

Tr+1 = ncran-rxr

∴ Tr+1 āĻĻā§āĻŦāĻžāϰāĻž (r+1) āϤāĻŽ āĻĒāĻĻāϕ⧇ āϏ⧂āϚāĻŋāϤ āĻ•āϰāĻž āĻšā§Ÿā§‡āϛ⧇ āĨ¤ (r+1) āϤāĻŽ āĻĒāĻĻāϕ⧇ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϰ āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ āĻŦāϞāĻž āĻšā§ŸāĨ¤

∴ (a+x)n āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ = ncran-rxr

∴ (a-x)n āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ = (-1)rcran-rxr

∴ (1+x)n āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ = ncrxr

∴ (1-x)n āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ = (-1)rncrxr

  • (a+x)n āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϰ āĻŽāĻ§ā§āϝāĻĒāĻĻ :

(i) n āĻœā§‹ā§œāϏāĻ‚āĻ–ā§āϝāĻž āĻšāϞ⧇ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ (n+1) āϏāĻ‚āĻ–ā§āϝāĻ• āĻ…āĻ°ā§āĻĨāĻžā§Ž āĻŦāĻŋāĻœā§‹ā§œ āϏāĻ‚āĻ–ā§āϝāĻ• āĻĒāĻĻ āĻĨāĻžāĻ•āĻŦ⧇ āĨ¤āĻāĻ•ā§āώ⧇āĻ¤ā§āϰ⧇ āĻŽāĻ§ā§āϝāĻĒāĻĻ āĻāĻ•āϟāĻŋ āĻāĻŦāĻ‚ āϤāĻž (n/2 + 1) āϤāĻŽ āĻĒāĻĻ āĨ¤

∴ āĻŽāĻ§ā§āϝāĻĒāĻĻ = ncn/2an/2xn/2

(ii) āĻŦāĻŋāĻœā§‹ā§œ āϏāĻ‚āĻ–ā§āϝāĻž āĻšāϞ⧇ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ (n+1) āϏāĻ‚āĻ–ā§āϝāĻ• āĻ…āĻ°ā§āĻĨāĻžā§Ž āĻœā§‹ā§œ āϏāĻ‚āĻ–ā§āϝāĻ• āĻĒāĻĻ āĻĨāĻžāĻ•āĻŦ⧇ āĨ¤ āĻāĻ•ā§āώ⧇āĻ¤ā§āϰ⧇ āĻŽāĻ§ā§āϝāĻĒāĻĻ āĻĻ⧁āχāϟāĻŋ āĻāĻŦāĻ‚ āϤāĻžāϰāĻž {(n-1)/2 +1} āϤāĻŽ āĻ“ {(n+1)/2 + 1} āϤāĻŽ āĻĒāĻĻ

∴ āĻĒā§āϰāĻĨāĻŽ āĻŽāĻ§ā§āϝāĻĒāĻĻ = nc(n-1)/2a(n+1)/2x(n-1)/2

∴ āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻ¤ā§€ā§Ÿ āĻŽāĻ§ā§āϝāĻĒāĻĻ = nc(n+1)/2a(n-1)/2x(n+1)/2

āϞāĻ•ā§āώāĻŖā§€ā§Ÿ, āĻĒā§āϰāĻĨāĻŽ āĻŽāĻ§ā§āϝāĻĒāĻĻ⧇āϰ āϏāĻšāĻ— = āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻ¤ā§€ā§Ÿ āĻŽāĻ§ā§āϝāĻĒāĻĻ⧇āϰ āϏāĻšāĻ—, āĻ…āĻ°ā§āĻĨāĻžā§Ž,

nc(n-1)/2 = nc(n+1)/2 = n!/{ ÂŊ (n+1)! ÂŊ (n-1)!}

  • (a+x)n āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϰ āĻĻ⧁āϟāĻŋ āϧāĻžāϰāĻžāĻŦāĻžāĻšāĻŋāĻ• āĻĒāĻĻ⧇āϰ āĻ…āύ⧁āĻĒāĻžāϤ : āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ r+1 āĻ“ r āϤāĻŽ āĻĒāĻĻ āĻĻ⧁āϟāĻŋāϰ āĻ…āύ⧁āĻĒāĻžāϤ = Tr+1 : +r = (n-r+1)/r . x/a
  • āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻĒāĻĻā§€ āϧāĻžāϰāĻž : āϝāĻĻāĻŋ n āĻ‹āĻŖāĻžāĻ¤ā§āĻŽāĻ• āĻŽā§‚āϞ āϏāĻ‚āĻ–ā§āϝāĻž āĻšā§Ÿ āĻāĻŦāĻ‚ âˆŖxâˆŖ<1 āĻšā§Ÿ (āĻ…āĻ°ā§āĻĨāĻžā§Ž -1<x<1 āĻšā§Ÿ) āϤāĻŦ⧇,

(1+x)n=1+(n/1!)x+(n/2!)(n−1)x2+â€Ļâ€Ļ.+n(n−1)(n−2)â€Ļâ€Ļ(n−r+1)r!xr+â€Ļâ€Ļ+Îą

∴ Tr+1=n(n−1)(n−2)â€Ļ..(n−r+1)r!Xr

āĻāϰ⧂āĻĒ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϰ āĻĒāĻĻ⧇āϰ āϏāĻ‚āĻ–ā§āϝāĻž āĻ…āύāĻ¨ā§āϤ āĨ¤

āĻ…āύ⧁āϏāĻŋāĻĻā§āϧāĻžāĻ¨ā§āϤ :

  1. āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϟāĻŋ (1-x)n āĻšāϞ⧇,

Tr+1=(−1)rn(n−1)(n−2)â€Ļâ€Ļ(n−r+1)r!xr

  1. āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϟāĻŋ (1+x)-n āĻšāϞ⧇,

             Tr+1=(−1)rn(n−1)(n−2)â€Ļâ€Ļ(n−r+1)r!xr

  1. āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϟāĻŋ (1-x)-n āĻšāϞ⧇,

Tr+1=n(n+1)(n+2)â€Ļâ€Ļ(n+r−1)r!xr

  1. (1+x)-n āĻ“ (1-x)-n āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϰ āĻ•ā§āώ⧇āĻ¤ā§āϰ⧇,

Tr+1 = (n+r-1)/r . x/a    

  • āϗ⧁āϰ⧁āĻ¤ā§āĻŦāĻĒā§‚āĻ°ā§āĻŖ āĻ•āĻŋāϛ⧁ āϧāĻžāϰāĻž:

(i) (1-x)-1 = 1+x+x2+x3+......+xr+......Îą

(ii) (1+x)-1 = 1-x+x2-x3+......+(-1)rxr+......Îą

(iii) (1-x)-2 = 1+2x+3x2+4x3+......+(r+1)xr+......Îą

(iv) (1+x)-2 = 1-2x+3x2-4x3+......+(-1)r(r+1)xr+......Îą

(v) (1-x)-3 = 1+3x+6x2+10x3+......+(1/2)(r+1)(r+2)xr+......Îą

(vi) (1+x)-3 = 1-3x+6x2-10x3+......+(-1)r(r+1)(r+2)xr+......Îą

[āϞāĻ•ā§āώāĻŖā§€ā§Ÿ : (i) āĻāϰ āωāϭ⧟āĻĒāĻ•ā§āώāϕ⧇ x āĻāϰ āϏāĻžāĻĒ⧇āĻ•ā§āώ⧇ āĻ…āĻ¨ā§āϤāϰ⧀āĻ•āϰāĻŖ āĻ•āϰāϞ⧇ (iii) āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻž āϝāĻžā§Ÿ āĻ…āĻ°ā§āĻĨāĻžā§Ž,

(d/dx)(1-x)-1 = (d/dx)(1+x+x2+x3+......+xr+......Îą

⇒ -1(1-x)-2(d/dx)(1-x) = 1+2x+3x2+4x3+......+rxr-1+(r+1)xr+......α

⇒ (1-x)-2 = 1+2x+3x2+4x3+......+(r+1)xr+......α

āĻ…āύ⧁āϰ⧂āĻĒāĻ­āĻžāĻŦ⧇, (i) āϕ⧇ āĻĒāĻ°ā§āϝāĻžā§ŸāĻ•ā§āϰāĻŽā§‡ āĻ…āĻ¨ā§āϤāϰ⧀āĻ•āϰāĻŖ (1-x)-3, (1-x)-4, ....... āĻ•āϰ⧇ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻž āϝāĻžā§Ÿ āĨ¤ āφāϰ⧋ āϞāĻ•ā§āώāĻŖā§€ā§Ÿ, (1-x)-n āĻāϰ āĻĒā§āϰāϤāĻŋāϟāĻŋ āĻĒāĻĻāχ āϧāύāĻžāĻ¤ā§āĻŽāĻ• āĻāĻŦāĻ‚ āĻāϰ āĻĒāĻĻāϗ⧁āϞ⧋āϰ āϚāĻŋāĻšā§āύ r āĻāϰ āĻœā§‹ā§œ āĻ“ āĻŦāĻŋāĻœā§‹ā§œ āĻŽāĻžāύ⧇āϰ āĻĒā§āϰ⧇āĻ•ā§āώāĻŋāϤ⧇ āϝāĻĨāĻžāĻ•ā§āϰāĻŽā§‡ āϧāύāĻžāĻ¤ā§āĻŽāĻ• āĻ“ āĻ‹āύāĻžāĻ¤ā§āĻŽāϕ⧇ āĻĒāϰāĻŋāĻŖāϤ āĻ•āϰāϞ⧇āχ (1+x)-n āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋ āĻĒāĻžāĻ“ā§ŸāĻž āϝāĻžā§Ÿ āĨ¤]

 

āĻ—āĻžāĻŖāĻŋāϤāĻŋāĻ• āϏāĻŽāĻ¸ā§āϝāĻžāϰ āωāĻĻāĻžāĻšāϰāĻŖ āĻ“ āϏāĻŽāĻžāϧāĻžāύ 

ā§§) āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇

⧍) āĻŦāĻ°ā§āϜāĻŋāϤ āĻĒāĻĻ/āĻ§ā§āϰ⧁āĻŦāĻ• āĻĒāĻĻ āĻāĻŦāĻ‚ āĻĒāĻĻāϟāĻŋāϰ āĻŽāĻžāύ āύāĻŋāĻ°ā§āϪ⧟ āĻ•āϰ

ā§Š) āĻāϰ āϏāĻšāĻ— āĻ•āϤ?

ā§Ē) āĻŽāĻ§ā§āϝāĻĒāĻĻ āύāĻŋāĻ°ā§āϪ⧟ āĻ•āϰ

āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻāϟāĻŋ āĻŦāĻ°ā§āϜāĻŋāϤ āĻšāĻŦ⧇ āϝāĻĻāĻŋ

āϤāĻŽ āĻĒāĻĻ āĻŦāĻ°ā§āϜāĻŋāϤ āĻāĻŦāĻ‚ āĻāϰ āĻŽāĻžāύ

āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ⧇ āĻĨāĻžāĻ•āĻŦ⧇ āϝāĻĻāĻŋ

āϤāĻŽ āĻĒāĻĻ⧇ āφāϛ⧇ āĻāĻŦāĻ‚ āύāĻŋāĻ°ā§āϪ⧟ āϏāĻšāĻ—

 

āĻāĻ–āĻžāύ⧇ āĻŦāĻŋāĻœā§‹ā§œ āϏāĻ‚āĻ–ā§āϝāĻž āĨ¤ āĻŽāĻ§ā§āϝāĻĒāĻĻ āĻĻ⧁āχāϟāĻŋ āĻāĻŦāĻ‚ āϤāĻžāϰāĻž āϤāĻŽ āĻĒāĻĻ āĨ¤ āĻ…āĻ°ā§āĻĨāĻžā§Ž ā§Ē āĻāĻŦāĻ‚ ā§­ āĻĒāĻĻ āĻšāϞ⧇ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϰ āĻĻ⧁āϟāĻŋ āĻŽāĻ§ā§āϝāĻĒāĻĻ

ā§§āĻŽ āĻŽāĻ§ā§āϝāĻĒāĻĻ

⧍⧟ āĻŽāĻ§ā§āϝāĻĒāĻĻ

āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ āĻŦāĻ°ā§āϜāĻŋāϤ āĻĒāĻĻāϟāĻŋāϰ āĻŽāĻžāύ āύāĻŋāĻ°ā§āϪ⧟ āĻ•āϰ

āĻāĻ–āĻžāύ⧇

āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻāϟāĻŋ āĻŦāĻ°ā§āϜāĻŋāϤ āĻšāĻŦ⧇ āϝāĻĻāĻŋ

āϤāĻŽ āĻĒāĻĻāϟāĻŋ āĻŦāĻ°ā§āϜāĻŋāϤ āĻāĻŦāĻ‚ āĻĒāĻĻāϟāĻŋāϰ āĻŽāĻžāύ

āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ āĻāĻŦāĻ‚ āĻāϰ āϏāĻšāĻ— āĻĻ⧁āϟāĻŋ āĻĒāϰāĻ¸ā§āĻĒāϰ āϏāĻŽāĻžāύ āĻšāϞ⧇  āĻāϰ āϧāύāĻžāĻ¤ā§āĻŽāĻ• āĻŽāĻžāύ āύāĻŋāĻ°ā§āϪ⧟ āĻ•āϰāĻž

āϝāĻĻāĻŋ āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ⧇ āĻĨāĻžāϕ⧇ āϤāĻŦ⧇

āϝāĻĻāĻŋ āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ⧇ āĻĨāĻžāϕ⧇ āϤāĻŦ⧇

āĻāϰ āϏāĻšāĻ—āĻĻā§āĻŦ⧟ āĻĒāϰāĻ¸ā§āĻĒāϰ āϏāĻŽāĻžāύ āĻšāϞ⧇

ā§Ē)āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ āĻāϰ āϏāĻšāĻ— ā§Šā§¨ā§Ļ āĻšāϞ⧇ āĻāϰ āĻŽāĻžāύ āύāĻŋāĻ°ā§āϪ⧟ āĻ•āϰāĨ¤

āĻāĻ–āĻžāύ⧇

ā§Ģ)āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ ⧍⧧āϤāĻŽ āĻ“ ⧍⧍ āĻĒāĻĻ āĻĻ⧁āχāϟāĻŋ āĻĒāϰāĻ¸ā§āĻĒāϰ āϏāĻŽāĻžāύ āĻšāϞ⧇ āĻāϰ āĻŽāĻžāύ āύāĻŋāĻ°ā§āϪ⧟ āĻ•āϰ

āĻĒāĻĻāĻĻā§āĻŦ⧟ āϧāĻžāϰāĻžāĻŦāĻžāĻšāĻŋāĻ• āĻ“ āĻ…āϏāĻŽāĻžāύ

ā§Ŧ)āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ āϏāĻžāĻ‚āĻ–ā§āϝāĻŽāĻžāύ āĻŦ⧃āĻšāĻ¤ā§āϤāĻŽ āĻĒāĻĻāϟāĻŋ āύāĻŋāĻ°ā§āϪ⧟ āĻ•āϰ

ā§­)āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ āĻāϰ āϏāĻšāĻ— āύāĻŋāĻ°ā§āϪ⧟ āĻ•āϰ

  • āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ āĻ•āϤ āϤāĻŽ āĻĒāĻĻ āĻŦāĻ°ā§āϜāĻŋāϤ
  • āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ āĻŦāĻ°ā§āϜāĻŋāϤ āĻĒāĻĻ āϕ⧋āύāϟāĻŋ
  • āĻāϰ ā§­ āϤāĻŽ āĻĒāĻĻ⧇āϰ āϏāĻšāĻ— āĻ•āϤ
  • āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ āĻāϰ āϏāĻšāĻ— āĻ•āϤ
  • āĻāϰ āϏāĻŽā§āĻĒā§āϰāϏāĻžāϰāϪ⧇ āĻŽā§āĻ•ā§āϤ āĻĒāĻĻ āϕ⧋āύāϟāĻŋ
  • āĻāϰ āϏāĻŽā§āĻĒā§āϰāϏāĻžāϰāϪ⧇ āĻŦāĻ°ā§āϜāĻŋāϤ āĻĒāĻĻ āϕ⧋āύāϟāĻŋ
  • āĻāϰ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āϤ⧃āϤāĻŋāϤ⧇ āĻŦāĻ°ā§āϜāĻŋāϤ āĻĒāĻĻ āĻšāϞ⧋