āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āϧāĻžāϰāĻŖāĻž
- āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻĒāĻĻā§ āϰāĻžāĻļāĻŋ : āĻĻā§āĻāĻāĻŋ āĻĒāĻĻāϝā§āĻā§āϤ āϰāĻžāĻļāĻŋāĻā§ āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻĒāĻĻ āϰāĻžāĻļāĻŋ āĻŦāϞ⧠āĨ¤ āϝā§āĻŽāύ : (a+b), (x+a) āĻĒā§āϰāĻā§āϤāĻŋ
- āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻĒāĻĻā§ āĻāĻĒāĻĒāĻžāĻĻā§āϝ : āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻĒāĻĻā§ āĻāĻĒāĻĒāĻžāĻĻā§āϝ āĻšāϞ⧠āĻāĻāĻāĻŋ āĻŦā§āĻāĻāĻžāĻŖāĻŋāϤā§ā§ āϏā§āϤā§āϰ āϝāĻžāϰ āϏāĻžāĻšāĻžāϝā§āϝ⧠āĻāĻāĻāĻŋ āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻĒāĻĻ āϰāĻžāĻļāĻŋāϰ āϝāĻž āĻā§āύ⧠āĻļāĻā§āϤāĻŋ āĻŦāĻž āĻŽā§āϞāĻā§ āĻāĻāĻāĻŋ āϧāĻžāϰāĻžā§ āĻĒā§āϰāĻāĻžāĻļ āĻāϰāĻž āϝāĻžā§ āĨ¤
- (a+x)n āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋ : nâN āĻšāϞā§,
(a+x)n = nc0an+nc1an-1x+nc2an-2x2+......+ncran-rxr+......+xn ...(i)
āĻ āύā§āϏāĻŋāĻĻā§āϧāĻžāύā§āϤ
1. (i) āĻ x āĻāϰ āĻĒāϰāĻŋāĻŦāϰā§āϤ⧠-x āĻŦāϏāĻŋā§ā§ āĻĒāĻžāĻ,
(a-x)n = an-nc1an-1x+nc2an-2x2-......+(-1)rncran-rxr+......+(-1)nxn ...(ii)
āϞāĻā§āώāĻŖā§ā§, (a+x)n āĻ (a-x)n āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠āĻĒāĻĻāĻā§āϞā§āϰ āϏāĻžāĻāĻā§āϝāĻŋāĻ āĻŽāĻžāύ āĻāĻāĻ āĻļā§āϧ⧠āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋ n āĻāϰ āĻā§ā§ āĻ āĻŦāĻŋāĻā§ā§ āĻŽāĻžāύā§āϰ āĻāύā§āϝ āĻĒāĻĻāĻāĻŋāϰ āĻāĻŋāĻšā§āύ āϝāĻĨāĻžāĻā§āϰāĻŽā§ āϧāύāĻžāϤā§āĻŽāĻ āĻ āĻāύāĻžāϤā§āĻŽāĻ āĻšā§ āĨ¤
2. a = 1 āĻāϰ āĻāύā§āϝ (i) āĻĨā§āĻā§ āĻĒāĻžāĻ,
(1+x)n = 1+nc1x+nc2x2+......+ncrxr+......+xn
= 1+(n/1!)x+(n/2!)(nâ1)x2+âĻâĻ.+n(nâ1)(nâ2)âĻ(nâr+1)r!xr+âĻ..+xn
a = 1 āĻāϰ āĻāύā§āϝ (ii) āĻĨā§āĻā§ āĻĒāĻžāĻ,
(1-x)n = 1-nc1x+nc2x2-......+(-1)rcrxr+......+(-1)nxn
= 1 â (n/1!)x + (n/2!)(n-1)x2 - ....... + (-1)r{n(n-1)(n-2)......(n-r+1)}/r! + ...... + (-1)xxn
- (a+x)n āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϰ āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ (general term) :
(a+x)n āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϰ āĻĒāĻĻāĻā§āϞā§āĻā§ āĻĒā§āϰāĻĨāĻŽ āĻĨā§āĻā§ āϧāĻžāϰāĻžāĻŦāĻžāĻšāĻŋāĻāĻāĻžāĻŦā§ T1, T2, ..., Tr, Tr+1 āĻĻā§āĻŦāĻžāϰāĻž āϏā§āĻāĻŋāϤ āĻāϰāϞ⧠āĻĒāĻžāĻ,
T1 = nc0an-0x0 = an
T2 = nc1an-1x1
T3 = nc2an-2x2
Tr+1 = ncran-rxr
â´ Tr+1 āĻĻā§āĻŦāĻžāϰāĻž (r+1) āϤāĻŽ āĻĒāĻĻāĻā§ āϏā§āĻāĻŋāϤ āĻāϰāĻž āĻšā§ā§āĻā§ āĨ¤ (r+1) āϤāĻŽ āĻĒāĻĻāĻā§ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϰ āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ āĻŦāϞāĻž āĻšā§āĨ¤
â´ (a+x)n āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ = ncran-rxr
â´ (a-x)n āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ = (-1)rcran-rxr
â´ (1+x)n āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ = ncrxr
â´ (1-x)n āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻ = (-1)rncrxr
- (a+x)n āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϰ āĻŽāϧā§āϝāĻĒāĻĻ :
(i) n āĻā§ā§āϏāĻāĻā§āϝāĻž āĻšāϞ⧠āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠(n+1) āϏāĻāĻā§āϝāĻ āĻ āϰā§āĻĨāĻžā§ āĻŦāĻŋāĻā§ā§ āϏāĻāĻā§āϝāĻ āĻĒāĻĻ āĻĨāĻžāĻāĻŦā§ āĨ¤āĻāĻā§āώā§āϤā§āϰ⧠āĻŽāϧā§āϝāĻĒāĻĻ āĻāĻāĻāĻŋ āĻāĻŦāĻ āϤāĻž (n/2 + 1) āϤāĻŽ āĻĒāĻĻ āĨ¤
â´ āĻŽāϧā§āϝāĻĒāĻĻ = ncn/2an/2xn/2
(ii) āĻŦāĻŋāĻā§ā§ āϏāĻāĻā§āϝāĻž āĻšāϞ⧠āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠(n+1) āϏāĻāĻā§āϝāĻ āĻ āϰā§āĻĨāĻžā§ āĻā§ā§ āϏāĻāĻā§āϝāĻ āĻĒāĻĻ āĻĨāĻžāĻāĻŦā§ āĨ¤ āĻāĻā§āώā§āϤā§āϰ⧠āĻŽāϧā§āϝāĻĒāĻĻ āĻĻā§āĻāĻāĻŋ āĻāĻŦāĻ āϤāĻžāϰāĻž {(n-1)/2 +1} āϤāĻŽ āĻ {(n+1)/2 + 1} āϤāĻŽ āĻĒāĻĻ
â´ āĻĒā§āϰāĻĨāĻŽ āĻŽāϧā§āϝāĻĒāĻĻ = nc(n-1)/2a(n+1)/2x(n-1)/2
â´ āĻĻā§āĻŦāĻŋāϤā§ā§ āĻŽāϧā§āϝāĻĒāĻĻ = nc(n+1)/2a(n-1)/2x(n+1)/2
āϞāĻā§āώāĻŖā§ā§, āĻĒā§āϰāĻĨāĻŽ āĻŽāϧā§āϝāĻĒāĻĻā§āϰ āϏāĻšāĻ = āĻĻā§āĻŦāĻŋāϤā§ā§ āĻŽāϧā§āϝāĻĒāĻĻā§āϰ āϏāĻšāĻ, āĻ āϰā§āĻĨāĻžā§,
nc(n-1)/2 = nc(n+1)/2 = n!/{ ÂŊ (n+1)! ÂŊ (n-1)!}
- (a+x)n āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϰ āĻĻā§āĻāĻŋ āϧāĻžāϰāĻžāĻŦāĻžāĻšāĻŋāĻ āĻĒāĻĻā§āϰ āĻ āύā§āĻĒāĻžāϤ : āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠r+1 āĻ r āϤāĻŽ āĻĒāĻĻ āĻĻā§āĻāĻŋāϰ āĻ āύā§āĻĒāĻžāϤ = Tr+1 : +r = (n-r+1)/r . x/a
- āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻĒāĻĻā§ āϧāĻžāϰāĻž : āϝāĻĻāĻŋ n āĻāĻŖāĻžāϤā§āĻŽāĻ āĻŽā§āϞ āϏāĻāĻā§āϝāĻž āĻšā§ āĻāĻŦāĻ âŖxâŖ<1 āĻšā§ (āĻ āϰā§āĻĨāĻžā§ -1<x<1 āĻšā§) āϤāĻŦā§,
(1+x)n=1+(n/1!)x+(n/2!)(nâ1)x2+âĻâĻ.+n(nâ1)(nâ2)âĻâĻ(nâr+1)r!xr+âĻâĻ+Îą
â´ Tr+1=n(nâ1)(nâ2)âĻ..(nâr+1)r!Xr
āĻāϰā§āĻĒ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϰ āĻĒāĻĻā§āϰ āϏāĻāĻā§āϝāĻž āĻ āύāύā§āϤ āĨ¤
āĻ āύā§āϏāĻŋāĻĻā§āϧāĻžāύā§āϤ :
- āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāĻāĻŋ (1-x)n āĻšāϞā§,
Tr+1=(â1)rn(nâ1)(nâ2)âĻâĻ(nâr+1)r!xr
- āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāĻāĻŋ (1+x)-n āĻšāϞā§,
Tr+1=(â1)rn(nâ1)(nâ2)âĻâĻ(nâr+1)r!xr
- āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāĻāĻŋ (1-x)-n āĻšāϞā§,
Tr+1=n(n+1)(n+2)âĻâĻ(n+râ1)r!xr
- (1+x)-n āĻ (1-x)-n āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϰ āĻā§āώā§āϤā§āϰā§,
Tr+1 = (n+r-1)/r . x/a
- āĻā§āϰā§āϤā§āĻŦāĻĒā§āϰā§āĻŖ āĻāĻŋāĻā§ āϧāĻžāϰāĻž:
(i) (1-x)-1 = 1+x+x2+x3+......+xr+......Îą
(ii) (1+x)-1 = 1-x+x2-x3+......+(-1)rxr+......Îą
(iii) (1-x)-2 = 1+2x+3x2+4x3+......+(r+1)xr+......Îą
(iv) (1+x)-2 = 1-2x+3x2-4x3+......+(-1)r(r+1)xr+......Îą
(v) (1-x)-3 = 1+3x+6x2+10x3+......+(1/2)(r+1)(r+2)xr+......Îą
(vi) (1+x)-3 = 1-3x+6x2-10x3+......+(-1)r(r+1)(r+2)xr+......Îą
[āϞāĻā§āώāĻŖā§ā§ : (i) āĻāϰ āĻāĻā§āĻĒāĻā§āώāĻā§ x āĻāϰ āϏāĻžāĻĒā§āĻā§āώ⧠āĻ āύā§āϤāϰā§āĻāϰāĻŖ āĻāϰāϞ⧠(iii) āĻĒāĻžāĻā§āĻž āϝāĻžā§ āĻ āϰā§āĻĨāĻžā§,
(d/dx)(1-x)-1 = (d/dx)(1+x+x2+x3+......+xr+......Îą
â -1(1-x)-2(d/dx)(1-x) = 1+2x+3x2+4x3+......+rxr-1+(r+1)xr+......Îą
â (1-x)-2 = 1+2x+3x2+4x3+......+(r+1)xr+......Îą
āĻ āύā§āϰā§āĻĒāĻāĻžāĻŦā§, (i) āĻā§ āĻĒāϰā§āϝāĻžā§āĻā§āϰāĻŽā§ āĻ āύā§āϤāϰā§āĻāϰāĻŖ (1-x)-3, (1-x)-4, ....... āĻāϰ⧠āĻĒāĻžāĻā§āĻž āϝāĻžā§ āĨ¤ āĻāϰ⧠āϞāĻā§āώāĻŖā§ā§, (1-x)-n āĻāϰ āĻĒā§āϰāϤāĻŋāĻāĻŋ āĻĒāĻĻāĻ āϧāύāĻžāϤā§āĻŽāĻ āĻāĻŦāĻ āĻāϰ āĻĒāĻĻāĻā§āϞā§āϰ āĻāĻŋāĻšā§āύ r āĻāϰ āĻā§ā§ āĻ āĻŦāĻŋāĻā§ā§ āĻŽāĻžāύā§āϰ āĻĒā§āϰā§āĻā§āώāĻŋāϤ⧠āϝāĻĨāĻžāĻā§āϰāĻŽā§ āϧāύāĻžāϤā§āĻŽāĻ āĻ āĻāύāĻžāϤā§āĻŽāĻā§ āĻĒāϰāĻŋāĻŖāϤ āĻāϰāϞā§āĻ (1+x)-n āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋ āĻĒāĻžāĻā§āĻž āϝāĻžā§ āĨ¤]
āĻāĻžāĻŖāĻŋāϤāĻŋāĻ āϏāĻŽāϏā§āϝāĻžāϰ āĻāĻĻāĻžāĻšāϰāĻŖ āĻ āϏāĻŽāĻžāϧāĻžāύ
ā§§) āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤā§
⧍) āĻŦāϰā§āĻāĻŋāϤ āĻĒāĻĻ/āϧā§āϰā§āĻŦāĻ āĻĒāĻĻ āĻāĻŦāĻ āĻĒāĻĻāĻāĻŋāϰ āĻŽāĻžāύ āύāĻŋāϰā§āĻŖā§ āĻāϰ
ā§Š) āĻāϰ āϏāĻšāĻ āĻāϤ?
ā§Ē) āĻŽāϧā§āϝāĻĒāĻĻ āύāĻŋāϰā§āĻŖā§ āĻāϰ
āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻāĻāĻŋ āĻŦāϰā§āĻāĻŋāϤ āĻšāĻŦā§ āϝāĻĻāĻŋ
āϤāĻŽ āĻĒāĻĻ āĻŦāϰā§āĻāĻŋāϤ āĻāĻŦāĻ āĻāϰ āĻŽāĻžāύ
āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻā§ āĻĨāĻžāĻāĻŦā§ āϝāĻĻāĻŋ
āϤāĻŽ āĻĒāĻĻā§ āĻāĻā§ āĻāĻŦāĻ āύāĻŋāϰā§āĻŖā§ āϏāĻšāĻ
āĻāĻāĻžāύ⧠āĻŦāĻŋāĻā§ā§ āϏāĻāĻā§āϝāĻž āĨ¤ āĻŽāϧā§āϝāĻĒāĻĻ āĻĻā§āĻāĻāĻŋ āĻāĻŦāĻ āϤāĻžāϰāĻž āϤāĻŽ āĻĒāĻĻ āĨ¤ āĻ āϰā§āĻĨāĻžā§ ā§Ē āĻāĻŦāĻ ā§ āĻĒāĻĻ āĻšāϞ⧠āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϰ āĻĻā§āĻāĻŋ āĻŽāϧā§āϝāĻĒāĻĻ
ā§§āĻŽ āĻŽāϧā§āϝāĻĒāĻĻ
⧍⧠āĻŽāϧā§āϝāĻĒāĻĻ
āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠āĻŦāϰā§āĻāĻŋāϤ āĻĒāĻĻāĻāĻŋāϰ āĻŽāĻžāύ āύāĻŋāϰā§āĻŖā§ āĻāϰ
āĻāĻāĻžāύā§
āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻāĻāĻŋ āĻŦāϰā§āĻāĻŋāϤ āĻšāĻŦā§ āϝāĻĻāĻŋ
āϤāĻŽ āĻĒāĻĻāĻāĻŋ āĻŦāϰā§āĻāĻŋāϤ āĻāĻŦāĻ āĻĒāĻĻāĻāĻŋāϰ āĻŽāĻžāύ
āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠āĻāĻŦāĻ āĻāϰ āϏāĻšāĻ āĻĻā§āĻāĻŋ āĻĒāϰāϏā§āĻĒāϰ āϏāĻŽāĻžāύ āĻšāϞ⧠āĻāϰ āϧāύāĻžāϤā§āĻŽāĻ āĻŽāĻžāύ āύāĻŋāϰā§āĻŖā§ āĻāϰāĻž
āϝāĻĻāĻŋ āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻā§ āĻĨāĻžāĻā§ āϤāĻŦā§
āϝāĻĻāĻŋ āϏāĻžāϧāĻžāϰāĻŖ āĻĒāĻĻā§ āĻĨāĻžāĻā§ āϤāĻŦā§
āĻāϰ āϏāĻšāĻāĻĻā§āĻŦā§ āĻĒāϰāϏā§āĻĒāϰ āϏāĻŽāĻžāύ āĻšāϞā§
ā§Ē)āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠āĻāϰ āϏāĻšāĻ ā§Šā§¨ā§Ļ āĻšāϞ⧠āĻāϰ āĻŽāĻžāύ āύāĻŋāϰā§āĻŖā§ āĻāϰāĨ¤
āĻāĻāĻžāύā§
ā§Ģ)āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠⧍⧧āϤāĻŽ āĻ ā§¨ā§¨ āĻĒāĻĻ āĻĻā§āĻāĻāĻŋ āĻĒāϰāϏā§āĻĒāϰ āϏāĻŽāĻžāύ āĻšāϞ⧠āĻāϰ āĻŽāĻžāύ āύāĻŋāϰā§āĻŖā§ āĻāϰ
āĻĒāĻĻāĻĻā§āĻŦā§ āϧāĻžāϰāĻžāĻŦāĻžāĻšāĻŋāĻ āĻ āĻ āϏāĻŽāĻžāύ
ā§Ŧ)āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠āϏāĻžāĻāĻā§āϝāĻŽāĻžāύ āĻŦā§āĻšāϤā§āϤāĻŽ āĻĒāĻĻāĻāĻŋ āύāĻŋāϰā§āĻŖā§ āĻāϰ
ā§)āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠āĻāϰ āϏāĻšāĻ āύāĻŋāϰā§āĻŖā§ āĻāϰ
- āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠āĻāϤ āϤāĻŽ āĻĒāĻĻ āĻŦāϰā§āĻāĻŋāϤ
- āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠āĻŦāϰā§āĻāĻŋāϤ āĻĒāĻĻ āĻā§āύāĻāĻŋ
- āĻāϰ ā§ āϤāĻŽ āĻĒāĻĻā§āϰ āϏāĻšāĻ āĻāϤ
- āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠āĻāϰ āϏāĻšāĻ āĻāϤ
- āĻāϰ āϏāĻŽā§āĻĒā§āϰāϏāĻžāϰāĻŖā§ āĻŽā§āĻā§āϤ āĻĒāĻĻ āĻā§āύāĻāĻŋ
- āĻāϰ āϏāĻŽā§āĻĒā§āϰāϏāĻžāϰāĻŖā§ āĻŦāϰā§āĻāĻŋāϤ āĻĒāĻĻ āĻā§āύāĻāĻŋ
- āĻāϰ āĻŦāĻŋāϏā§āϤā§āϤāĻŋāϤ⧠āĻŦāϰā§āĻāĻŋāϤ āĻĒāĻĻ āĻšāϞā§