সাধারণ ধারণা 

 

বহুপদী ও তার ঘাত (Polynomial and its degree) : বহুপদী এক ধরনের বীজগাণিতিক রাশি (Expression) । এতে এক বা একাধিক পদ (element) থাকতে পারে । এক বা একাধিক চলকের (variable) কেবলমাত্র ধনাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাত ও কোন ধ্রুবকের (constant) গুণফল হল বহুপদীর বিভিন্ন পদ । বহুপদীর পদগুলোর সর্বোচ্চ ঘাতকে বহুপদীয় ঘাত (Degree) বলে ।

এক চলকের বহুপদী : এর প্রতি পদে শুধুমাত্র একটি চলকের বিভিন্ন পূর্ণ সাংখ্যিক ঘাত ও ধ্রুবক থাকে । যেমন :

a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ ......+an একটি এক চলকের বহুপদী যেখানে x চলক । a 0, a1, a2, ...... an ∈ R হল ধ্রুবক যেখানে a0 ≠ 0 । n হল x এর সর্বাধিক ঘাত । লক্ষণীয়, x এর ঘাত কখনও ঋণাত্মক হতে পারবে না । a0 কে মুখ্য সহগ বলা হয় । এক চলক x-বিশিষ্ট এরূপ বহুপদী রাশিকে f(x) দ্বারাও প্রকাশ করা হয় ।

বহুপদী সমীকরণ (Polynomial Equation) : a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ ......+a n = 0 আকারের সমীকরণকে বহুপদী সমীকরণ বলে ।

x এর যে মানগুলোর জন্য বহুপদী সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, অর্থাৎ বহুপদী রাশিটির মান শূন্য হয়, ঐ মানগুলোকে বহুপদী সমীকরণের মূল (Roots) বলা হয় ।

n = 1,2,3 এর জন্য বহুপদী সমীকরণটিকে যথাক্রমে সরল সমীকরণ (Linear equation), দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation), ত্রিঘাত সমীকরণ (cubic equation) বলা হয় ।

বহুপদী সমীকরণের উপপাদ্য (Theorems of polynomial equations) :

  i. বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য (Fundamental theorem of algebra) : প্রতিটি বহুপদী সমীকরণের অন্তত একটি মূল (বাস্তব কিংবা জটিল) থাকে ।

  ii. n ঘাত বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণে n সংখ্যক মূল আছে (বাস্তব কিংবা জটিল) । তবে সব মূলগুলো ভিন্ন নাও হতে পারে ।

  iii. ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder theorem) : যদি কোন বহুপদী f(x) কে x-a দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে f(a) ।

  iv. উৎপাদক উপপাদ্য (Factor theorem) : যদি a, বহুপদী সমীকরণ f(x) এর একটি মূল হয় তবে (x-a) বহুপদী f(x) এর একটি উৎপাদক হবে ।

  v. অনুবন্ধী মূল উপপাদ্য (Conjugate pairs theorem) : a+ib কোন বহুপদী সমীকরণের জটিল মূল হলে এর অনুবন্ধী a-ib ও সমীকরণের মূল হবে । এবং a+√b একটি মূল হলে (যেখানে √b অমূলদ), এর অনুবন্ধী a-√b ও সমীকরণের একটি মূল হবে ।

· বহুপদীর মূল সহগ সম্পর্ক : যদি a,b,c,d, ...... k কোন বহুপদী সমীকরণ p0xn+p1xn-1+p2x n-2+ ...... +pn এর মূল হয় তবে,

  i. = a+b+c+ ...... + k = - p1/p0

  ii. = ab+bc+cd+ ...... = P2/P0

  iii. a×b×c×d×......×k = (-1)n (pn/p0)

দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation) : বহুপদী সমীকরণের ঘাত 2 হলে তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে । এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ-

ax2+bx+c = 0; যেখানে a≠0; a,b,c মূলদ সংখ্যা

উক্ত সমীকরণ সমাধান করলে x এর দুইটি মান পাওয়া যাবে অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল হবে-

$\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{\mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}}}{2 \mathrm{a}}$ এবং $\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

· দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূল দুইটি α এবং β (α>β) হলে,

  i. $\sum \alpha=\alpha+\beta=-\mathrm{b} / \mathrm{a}$ = - x এর সহগ /  x 2 এর সহগ

  ii. αβ = c/a = ধ্রুবক পদ / x 2 এর সহগ

· দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি (Nature of the roots) : আমরা জানি, ax 2+bx+c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূল, $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ । এখানে, (b2 -4ac) এর মান পর্যালোচনা করলেই দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি জানা যায় । এজন্য (b2-4ac) কে দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক বা নিরূপক (Discriminant) বলা হয় ।

  i. যদি b2-4ac=0 ⇒ b2=4ac হয় তবে মূল দুইটি হবে –b/2a এবং –b/2a । অর্থাৎ মূল দুইটি বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে ।

  ii. b2-4ac>0 ⇒ b2>4ac হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে ।

  iii. b2-4ac<0 ⇒ b2<4ac হলে মূলদ্বয় অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা হবে ।

  iv. (b2-4ac) পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও অসমান হবে ।

  v. c = 0 হলে একটি মূল 0 হবে ।

  vi. b = 0 হলে মূল দুইটি হবে √(-c/a) এবং -√(-c/a) অর্থাৎ মূল দুইটির মান সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হবে । লক্ষণীয়, এক্ষেত্রে a ও c একই চিহ্নযুক্ত হলে মূলদ্বয় জটিল    এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে মূলদ্বয় বাস্তব হবে ।

· দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ মূল থাকার শর্ত : a1x2+b1x+c1=0 ও a2x2+b2x+c 2=0 সমীকরণদ্বয়ের-

  i. একটি মূল সাধারণ হবে যদি (a1b2-a2b1)(b1c2-b2c1) = (c 1a2-c2a1)2 হয় ।

  ii. উভয় মূলই সাধারণ হবে যদি a1/a2 = b1/b 2 = c1/c2 হয় ।

· দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন : দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল দেয়া থাকলে তা থেকে দ্বিঘাত সমীকরণটি গঠন করা যায় । সমীকরণটি হবে-

  x2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + (মূলদ্বয়ের গুণফল) = 0 

  অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল α ও β হলে সমীকরণটি হবে-

  x2 - (α+β)x + αβ = 0

· ত্রিঘাত সমীকরণ Cubic equation) : বহুপদী সমীকরণের ঘাত 3 হলে তাকে ত্রিঘাত সমীকরণ বলে । এক চলকবিশিষ্ট ত্রিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ-

  ax3+bx2+cx+d = 0; যেখানে a≠0; a,b,c,d মূলদ সংখ্যা

· ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক : ax3+bx2+cx+d = 0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ হলে-

  i. = α+β+γ = -b/a

  ii. = αβ+βγ+γα = c/a

  iii. αβγ = -d/a

· Important formula :

i. (a+b)2 = a2+2ab+b2 = (a-b)2 +4ab

ii. (a-b)2= a2-2ab+b2 = (a+b)2 -4ab

iii. 4ab = (a+b)2-(a-b)2

iv. a2+b2 = (a+b)2-2ab = (a-b)2 +2ab

v. a3+b3 = (a+b)3-3ab(a+b) = (a+b)(a 2-ab+b2)

vi. a3-b3 = (a-b)3+3ab(a-b) = (a-b)(a 2+ab+b2)

vii. a4+b4 = [(a+b)2-2ab]2 -2(ab)2

viii. a2+b2+c2 = (a+b+c)2 -2(ab+bc+ca)

ix. (a+b)2+(b+c)2+(c+a)2 = 2(a2 +b2+c2+ab+bc+ca)

x. (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 = 2(a2 +b2+c2-ab-bc-ca)

xi. a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2 +b2+c2-ab-bc-ca)

= ½ (a+b+c){(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}

= (a+b+c){(a+b+c)2-3(ab+bc+ca)}

গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান :

1. x3-px2+qx-r = 0 সমীকরণের মূলগুলো α,β,γ হলে-

a. $\sum \alpha$

b. $\sum \alpha \beta$

c. $\sum \alpha^{2}$

d. $\sum \alpha^{3}$ এর মান নির্ণয় কর ।

সমাধান :

a. এখানে, $\sum \alpha=\alpha+\beta+\gamma=-(-\mathrm{p} / 1)=\mathrm{p}$ [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

b. $\sum \alpha \beta=\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\mathrm{q} / 1=\mathrm{q}$ [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]

c. $\sum \alpha^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=(\alpha+\beta+\gamma)-2(\alpha \beta+\beta y+\gamma \alpha)$ [See Important formula viii]

= p2-2q

d. $\sum \alpha^{3}=\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}=(\alpha+\beta+\gamma)\left\{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-3(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)\right\}+3 \alpha \beta \gamma$ [See Important formulae xi]

= p(p2-2q-3q)+{-(-r/1)} [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল সহগ-সম্পর্ক]

= p3-5pq+3r

 

2. x3+qx+r=0 এর মূলগুলো α,β,γ হলে $\frac{\gamma^{2}}{\alpha+\beta}+\frac{\alpha^{2}}{\beta+\gamma}+\frac{\beta^{2}}{\gamma+\alpha}$ এর মান নির্ণয় কর ।

সমাধান :

এখানে, x3+qx+r = 0 ⇒ x3+0.x2+qx+r = 0

∴ α+β+γ = 0...(i) [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

(i) ⇒ α+β = -γ; β+γ = - α; α+γ = -β

∴ $\frac{\gamma^{2}}{\alpha+\beta}+\frac{\alpha^{2}}{\beta+\gamma}+\frac{\beta^{2}}{\gamma+\alpha}=\frac{\gamma^{2}}{-\gamma}+\frac{\alpha^{2}}{-\alpha}+\frac{\beta^{2}}{-\beta}=-\gamma-\alpha-\beta=-(\alpha+\beta+\gamma)=0$

 

3. k এর মান কত হলে, (3k+1)x2+(11+k)x+9 = 0 সমীকরণের মূলগুলো-

a. সমান

b. বাস্তব ও অসমান

c. জটিল হবে?

সমাধান :

এখানে, নিশ্চায়ক, D = (11+k)2-4(3k+1)9 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি]

= k2+22k+121-108k-86

= k2-86k+85

= k2-k-85k+85

= (k-1)(k-85)

a. মূলগুলো সমান হবে যদি D=0 হয় [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি i]

⇒ (k-1)(k-85) = 0

⇒ k=1 অথবা 85 হয়

b. মূলগুলো বাস্তব ও অসমান হবে যদি D>0 হয় [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি ii]

⇒ (k-1)(k-85) > 0

⇒ k<1 অথবা 85>0 হয় [See Algebra - chaper 2 - বাস্তব সংখ্যা]

c. মূলগুলো জটিল হবে যদি D<0 হয় [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি iii]

⇒ (k-1)(k-85) < 0

⇒ k<1<85 হয় [See Algebra - chaper 2 - বাস্তব সংখ্যা]

 

4. x2-2x+3 = 0 সমীকরণের মূল দুইটি α ও β হলে নিচের মূলগুলো দ্বারা গঠিত সমীকরণসমূহ নির্ণয় কর ।

i. -α, -β

ii. 1/α, 1/ β

iii. -1/ α, -1/ β

iv. α+β, αβ

v. 4α, 4β

vi. α -1, β-1

vii. α2, β2

viii. 1/ α2, 1/β2

ix. α+ α-1, β+β-1

x. α+β-1, β+ α-1

xi. $\frac{1}{\alpha-1}, \frac{1}{\beta-1}$

xii. 1/α3, 1/β3

সমাধান :

এখানে, α+β = 2 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

αβ = 3 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]

i. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = -α-β = -(α+β)

মূলদ্বয়ের গুণফল = (-α)(-β) = αβ

∴ -α ও -β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(-α-β)x+(-α)(-β) = 0 [See দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x2+(α+β)x+αβ = 0

⇒ x2+2x+3 = 0

Short-cut : ax2+bx+c=0 সমীকরণে মূলদ্বয় α ও β হলে -α ও -β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2-bx+c=0

ii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = $-1 / \alpha-1 / \beta=-\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}=-2 / 3$

মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/α × 1/β = 1/(αβ) = 1/3

∴ 1/α ও 1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(1/α+1/β)x+(1/α)(1/β) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x2-2/3x+1/3 = 0

⇒ 3x2-2x+1 = 0

Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে 1/α ও 1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, cx2+bx+a = 0

iii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = -1/α-1/β = - = -2/3

মূলদ্বয়ের গুণফল = (-1/α)×(-1/β) = 1/(αβ) = 1/3

∴ -1/α ও -1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(-1/α-1/β)x+(-1/α)(-1/β) = 0 [See দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x2+(2/3)x+(1/3) = 0

⇒ 3x2+2x+1 = 0

Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে -1/α ও -1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, cx2-bx+a = 0

iv. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α+β+αβ = 5

মূলদ্বয়ের গুণফল = (α+β)(αβ) = 6

∴ α+β ও αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(α+β+αβ)x+(α+β)(αβ) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x2-5x+6 = 0

Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে α+β ও αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2+a(b-c)x-bc = 0

v. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 4α+4β = 4(α+β) = 8

মূলদ্বয়ের গুণফল = (4α)(4β) = 16αβ = 48

∴ 4α ও 4β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(4α+4β)x+(4α)(4β) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x2-8x+48 = 0

Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে nα ও nβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2+nbx+n2c = 0

vi. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α-1+β-1 = α+β-2 = 0

মূলদ্বয়ের গুণফল = (α-1)(β-1) = αβ-α-β+1

= αβ-(α+β)+1

= 2

∴ (α-1) ও (β-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(α-1+β-1)x+(α-1)(β-1) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x2+2 = 0

Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে (α-n) ও (β-n) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2-(b-2an)x+c+bn+n2 = 0

vii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α22 = (α+β)2-2αβ = 4-6 = -2

মূলদ্বয়ের গুণফল = α2β2 = (αβ)2 = 9

∴ α2 ও β2 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(α22)x+(α2)(β2) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x2+2x+9 = 0

Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে α2 ও β2 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, a2x 2+(b2-2ca)x+c2 = 0

viii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 1/α2 + 1/β2

= $\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha^{2} \beta^{2}}$

= $\frac{(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta}{(\alpha \beta)^{2}}$ [See Important formulae iv]

= (4-6)/9

= -2/9

মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/α2 . 1/β2 = 1/(αβ)2 = 1/9

∴ 1/α2 ও 1/β2 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(1/α2+1/β2)x+(1/α2)(1/β 2)=0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x2+(2/9)x+1/9 = 0

⇒ 9x2+2x+1 = 0

Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে 1/α2 ও 1/β2 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, c2x 2-(b2-2ac)x+a2 = 0

ix. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α+α-1+β+β-1

= α+β+1/α+1/β

= (α+β)+

= 2+2/3

= 8/3

মূলদ্বয়ের গুণফল = (α+α-1)(β+β-1)

= αβ+α-1β+β-1α+α-1β-1

= αβ+β/α+α/β+(1/α)(1/β)

= $\alpha \beta+\frac{1}{\alpha \beta}+\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha \beta}$

= $\alpha \beta+\frac{1}{\alpha \beta}+\frac{(\alpha+\beta) 2-2 \alpha \beta}{\alpha \beta}$

= 3+1/3+(4-6)/3

= 8/3

∴ (α+α-1) ও (β+β-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(α+α-1+β+β-1)x+(α+α-1)(β+β -1) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x2-8/3x+8/3 = 0

⇒ 3x2-8x+8 = 0

Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে α+α -1 ও β+β-1 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, acx2 +b(a+c)x+a2+b2+c2-2ac = 0

x. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α+β-1+1/α+1/β

= $(\alpha+\beta)+\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}$

= 2+2/3

= 8/3

মূলদ্বয়ের গুণফল = (α+β-1)(β+α-1)

= αβ+1+1+α-1β-1

= αβ+2+ 1/(αβ)

= 3+2+1/3

= 16/3

∴ (α+β-1) ও (β+α-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(α+β-1+β+α-1)x+(α+β-1)(β+α -1) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x2-(8/3)x+16/3 = 0

⇒ 3x2-8x+16 = 0

Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে (α+β -1) ও (β+α-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, acx2 +b(a+c)x+(a+c)2 = 0

xi. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল 

$=\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}$
$=\frac{\alpha-1+\beta-1}{(\alpha-1)(\beta-1)}$
$=\frac{\alpha+\beta-2}{\alpha \beta-\alpha-\beta+1}$
$=\frac{(\alpha+\beta)-2}{\alpha \beta-(\alpha+\beta)+1}$

= 0

মূলদ্বয়ের গুণফল 

$=\frac{1}{\alpha-1} \times \frac{1}{\beta-1}$
$=\frac{1}{\alpha \beta-(\alpha+\beta)+1}$

= 1/(3-2+1)

= 1/2

∴ 1/(α-1) ও 1/(β-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

$\mathrm{x}^{2}-\left(\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}\right) \mathrm{x}+\left(\frac{1}{\alpha-1}\right)\left(\frac{1}{\beta-1}\right)=0$ [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x2+1/2 = 0

⇒ 2x2+1= 0

Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে $\frac{1}{\alpha-1}$ ও $\frac{1}{\beta-1}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, (a+b+c)x2+(b+2a)x+a = 0

xii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 1/α3 + 1/β3

$=\frac{\alpha^{3}+\beta^{3}}{\alpha^{3} \beta^{3}}$
$=\frac{(\alpha+\beta)^{3}-3 \alpha \beta(\alpha+\beta)}{(\alpha \beta)^{3}}$ [See important formula v]

= (23-3.3.2)/33

= 10/27

মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/α3 . 1/β3

= 1/(αβ)3

= 1/27

∴ 1/α3 ও 1/β3 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(1/α3 + 1/β3 )x+(1/α3)(1/β 3) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x2-(10/27)x+1/27 = 0

⇒ 27x2-10x+1 = 0

Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে 1/α3 ও 1/β3 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, c3x+b(b 2-3ac)x+a3 = 0

5. $\sqrt{-5}-1$ কোন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল হলে অপর মূলটি কত? সমীকরণটি নির্ণয় কর ।

সমাধান :

এখানে, একটি মূল $\sqrt{-5}-1=-1+i \sqrt{5} \quad[i=\sqrt{-1}]$

∴ অপর মূল = $-1-i \sqrt{5}$ [See অনুবন্ধী মূল উপপাদ্য]

∴ নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = $-1+\mathrm{i} \sqrt{5}-1-\mathrm{i} \sqrt{5}=-2$

মূলদ্বয়ের গুণফল = $(-1+i \sqrt{5})(-1-i \sqrt{5})$

= $(-1)^{2}-(\mathrm{i} \sqrt{5})^{2}$ [(a+b)(a-b) = a2-b 2]

= 1-i25

= 1-i2.5

= 1+5 [i2 = -1]

= 6

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, $x^{2}-(-1+i \sqrt{5})(-1-i \sqrt{5}) x+(-1+i \sqrt{5})(-1-i \sqrt{5})=0$ [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x2+2x+6 = 0

Short-cut : কোন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল a+ib হলে সমীকরণটি হবে, x 2-2ax+(a2+b2)=0

6. 3x2-2x+k=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর 1 একক হলে k এর মান কত?

সমাধান :

ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β (যেখানে α>β)

দেওয়া আছে, α-β=1 এখানে, α+β = -(-2/3) = 2/3 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

এবং αβ = k/3 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]

এখন, 4αβ = (α+β)2-(α-β)2 [See Important formulae iii]

⇒ 4αβ = (2/3)2-(1)2

⇒ 4.(k/3) = 4/9-1

⇒ (4/3)k = -5/9

∴ k = -5/9 × 3/4 = -5/12

Short-cut : ax2+bx+c=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর 1 একক হলে, b 2-a2 = 4ca

এক্ষেত্রে, (-2)2-32 = 4.k.3

⇒ 12k = -5

⇒ k = -5/12

7. px2+qx+q=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত m∶n হলে, $\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}$ এর মান কত?

সমাধান :

ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β ।

∴ α+β = -q/p [see দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

∴ αβ = q/p [see দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]

দেওয়া আছে, α/β = m/n

তাহলে, $\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}$

⇒ $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}+\sqrt{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}$

⇒ $\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}}+\frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}}+\sqrt{\frac{q}{p}} \quad\left[\because \sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right]$

$\Rightarrow \frac{(\sqrt{\alpha})^{2}+(\sqrt{\beta})^{2}}{\sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}}+\sqrt{\frac{q}{p}}$
$\Rightarrow \frac{\alpha+\beta}{\sqrt{\alpha \beta}}+\sqrt{\frac{q}{p}} \quad\left[\because \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}=\sqrt{x y} \&(\sqrt{x})^{2}=x\right]$
$\Rightarrow \frac{-q / p}{\sqrt{q} / p}+\sqrt{\frac{q}{p}}$
$\Rightarrow \frac{-\sqrt{q / p} \times \sqrt{q / p}}{\sqrt{q / p}}+\sqrt{q / p} \quad[\because x=\sqrt{x} \times \sqrt{x}]$
$\Rightarrow-\sqrt{q / p}+\sqrt{q / p}=0$

8. ax2+2x+1 = 0 এবং x2+2x+a = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে a এর মান নির্ণয় কর । (a≠1)

সমাধান :

ধরি, সাধারণ মূল p ।

∵ p উভয় সমীকরণের সাধারণ মূল ∴ p দ্বারা সমীকরণদ্বয় সিদ্ধ হবে ।

অর্থাৎ, ap2+2p+1=0 …(i)

এবং, p2+2p+a=0 …(ii)

(i) ও (ii) থেকে বজ্রগুণন পদ্ধতির সাহায্যে পাই,

$\frac{p^{2}}{2 a-2}=\frac{p}{1-a^{2}}=\frac{1}{2 a-2}$ …(iii) [a1x2+b1x+c1 = 0 ও a 2x2+b2x+c2=0 হলে বজ্রগুণন পদ্ধতি অনুসারে, $\frac{x^{2}}{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}=\frac{x}{c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}}=\frac{1}{a_{1} b_{2}-b_{2} a_{1}}$ ]

(iii) ⇒ = $\frac{\mathrm{p}^{2}}{2 \mathrm{a}-2}=\frac{\mathrm{p}}{1-\mathrm{a}^{2}}$

⇒ p2 = 1

⇒ p = ±1

আবার, (iii) 

$\Rightarrow \frac{1}{1-a^{2}}=\frac{1}{2 a-2}$
$\Rightarrow p=\frac{-\left(a^{2}-1\right)}{2 a-2}$
$\Rightarrow p=\frac{-(a+1)(a-1)}{2(a-1)}$
$\Rightarrow p=\frac{(a+1)}{2} \ldots(i v)$

P=1 হলে (iv) ⇒ $-\frac{(a+1)}{2}=1$

⇒ -a-1 = 2

⇒ a=1

P = -1 হলে (iv) ⇒ $-\frac{(a+1)}{2}=-1$

⇒ -a-1 = -2

⇒ a = 1

বিকল্প পদ্ধতি :

ধরি, সাধারণ মূল p ।

∴ ap2+2p+1 = 0 …(i) এবং, p2+2p+a = 0 …(ii)

(i) – (ii) ⇒ ap2-p2+1-a = 0

⇒ p2(a-1)-(a-1) = 0

⇒ (p2-1)(a-1) = 0

কিন্তু a≠1⇒ a-1 ≠ 0

∴ p2-1=0 ⇒ p = ±1

p=1 হলে (i) ⇒ a(1)2+2(1)+1=0 ⇒ a = -3

p=-1 হলে (i) ⇒ a(-1)2+2(-1)+1=0 ⇒ a = 1

 

9. x এর কোন বাস্তব মানের জন্য-

a. x2-6x+45 এর মান ন্যূনতম হবে? ন্যূনতম মান নির্ণয় কর ।

b. 19-x2+6x এর মান বৃহত্তম হবে? বৃহত্তম মান নির্ণয় কর ।

সমাধান :

a. f(x) = x2-6x+45 এর ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে যদি a>0 হয় ।

x = -b/2a এর জন্য f(x) এর ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে যেখানে, ন্যূনতম মান = f(-b/2a)

এক্ষেত্রে, x=-(-b/2a)=3 এর জন্য ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে ।

∴ ন্যূনতম মান = f(-b/2a) = f(3) = (3)2-6(3)+45 = 36

b. f(x) = 19-x2+6x এর বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে যদি a<0 হয় ।

x = -b/2a এর জন্য f(x) এর বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে যেখানে বৃহত্তম মান = f(-b/2a)

এক্ষেত্রে, x=-(b/-2a)=3 এর জন্য বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে ।

∴ বৃহত্তম মান = f(-b/2a) = f(3) = 19-(3)2+6(3) = 28 →

Calculator techniques : Calculator-এর সাহায্যে দ্বিঘাত ও ত্রিঘাত সমীকরণের মূলগুলোর মান নির্ণয় করা যায় । প্রাপ্ত মান প্রশ্নের শর্তানুসারে পরিবর্তিত করে সহজেই নতুন দ্বিঘাত/ ত্রিঘাত সমীকরণ গঠন করা যায় ।

ax2+bx+c=0 আকৃতির সমীকরণ সমাধানের জন্য চাপুন-

polynomial-calculator-tips-1

এরপর a,b,c এর মান input করলেই সমাধান পেয়ে যাবেন ।

ax3+bx2+cx+d আকৃতির সমীকরণ সমাধানের জন্য চাপুন-

polynomial-calculator-tips-2

Example 4 এর দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য পূর্বোক্ত প্রক্রিয়ায় 2 degree equation mode এ প্রবেশ করে চাপতে হবে-

polynomial-calculator-tips-3

অর্থাৎ, উক্ত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব । মান $1+\sqrt{2} \mathrm{i}$ ও $1-\sqrt{2} \mathrm{i}$ । polynomial-calculator-tips-4 চেপে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ দেখা যায় ।

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন ও সমাধান :

1. x2-5x-3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β হলে 1/α, 1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি? [DU : 1999-2000]

a. 3x2+5x-1=0

b. 3x2-5x+1=0

c. 5x2+x-3=0

d. 5x2-x-3=0

2. x2-4x+4=0 এর বীজদ্বয় α এবং β হলে α33 এর মান কত? [DU : 2000-01]

a. 24

b. 32

c. 16

d. 8

3. x2-5x-3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় x1, x 2 হলে 1/x1, 1/x2 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কি? [DU : 2001-02]

a. 3x2-5x+1=0

b. 5x2+x-3=0

c. 3x2+5x-1=0

d. 5x2-x-3=0

4. p এর কিরূপ মানের জন্য x2+px+1 = 0 সমীকরণটির মূলদ্বয় জটিল হবে? [DU : 2002-03]

a. -2≤p≤2

b. -4<p≤4

c. -2<p<2

d. -4≤p<4

5. 6x2-5x+1=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β হলে 1/α, 1/β মূল বিশিষ্ট সমীকরণটি হবে- [DU : 2004-05]

a. x2-5x+6=0

b. 3x2-2x+5=0

c. x2-6x+5=0

d. 5x2+2x-6=0

6. k এর যে মানের জন্য সমীকরণ (k+1)x2+4(k-2)x+2k = 0 এর মূলদ্বয়ের মান সমান হবে তা- [DU : 2004-05]

a. 4

b. 8

c. 2

d. 3

7. x2-2x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β হলে α+β, αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হবে- [DU : 2005-06]

a. x2-5x+6 = 0

b. 3x2-2x+1 = 0

c. x2-3x+2 = 0

d. 2x2-3x+1 = 0

8. x2-3x+5 এর ন্যূনতম মান- [DU : 2006-07]

a. 3

b. 5

c. 15/4

d. 11/4

9. x2-5x-1 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হতে 2 কম মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হল- [DU : 2007-08]

a. x2+x+7 = 0

b. x2-x-7 = 0

c. x2+x-7 = 0

d. x2-x-7 = 0

10. 5+3x-x2 এর সর্বোচ্চ মান- [DU : 2008-09]

a. 3

b. 11/4

c. 29/4

d. 27/4

11. x2-7x+12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α এবং β হলে, α+β এবং αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ- [DU : 2009-10]

a. x2-19x+84 = 0

b. x2+14x+144 = 0

c. x2-14x+144 = 0

d. x2+19x-84 = 0

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধান :

1. নির্ণেয় সমীকরণ, -3x2-5x+1=0 [see example 4 (ii)]

⇒ 3x2+5x-1 = 0

∴ ans. a

2. এখানে, α+β=4; αβ=4 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]

∴ α33 = (α+β)3-3αβ(α+β)

= 16

∴ ans. c

3. নির্ণেয় সমীকরণ, -3x2-5x+1=0 [see example 4 (ii)]

⇒ 3x2+5x-1 = 0

∴ ans. c

4. মূলদ্বয় জটিল হবে যদি p2- 4 < 0

⇒ p2 < 4 [see example 3 (c)]

⇒ -2<p<2 হয়

∴ ans. c

5. নির্ণেয় সমীকরণ, x2-5x+6=0

∴ ans.a

6. মূলদ্বয় সমান হবে যদি {4(k-2)}2-4.(k+1).2k=0 হয় [See example 3(a)]

⇒ 16(k-2)2 = 8k(k+1)

⇒ 2(k2-4k+4) = k2+k

⇒ 2k2-8k+8 = k2+k

⇒ k2-9k+8 = 0

⇒ k = 1 or, 8 [use calculator/manually factorize through middle term process]

∴ ans.b

7. α+β = 2; αβ = 3; ∴ α+β+αβ = 5 &, (α+β)(αβ) = 6 [see example 4 (iv)]

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x2-5x+6 = 0

∴ ans.a

8. –b/2a = 3/2

∴ f(3/2) = (3/2)2-3(3/2)+5 [see example 9]

= 11/4

∴ ans.d

10. α+β = 5; αβ = -1 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]

∴ (α-2)(β-2) = αβ-2(α+β)+4 = -7

∴ α-2+β-2 = 1

∴ x2-(α-2+β-2)x+(α-2)(β-2) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x2-x-7 = 0

∴ ans.d

10. –b/2a = 3/2

∴ f(3/2) = 5+3(3/2)-(3/2)2 = 29/4 [see example 9]

∴ ans.c

11. α+β = 7; αβ = 12 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]

∴ α+β+αβ = 19; ∴ (α+β)(αβ) = 84

∴ x2-(α+β+αβ)x+(α+β)(αβ) = 0 [see example 4 (iv)]

⇒ x2-19x+84 = 0

∴ ans.a