সমীকরণ               

প্রতীক পরিচিতি

একক

১.ভেক্টরের স্কলার বা ডট গুণন :
(i) AB=ABcosθ
(ii) AB=AXBX+AYBY+AZBZ

Aও B  দুটি ভেক্টর

 

θ = এদের মধ্যবর্তী কোণ

 

২.ক্রস গুণন :

I. A×B=[ˆ1ˆȷkAxAyAzBxByBz]
II. A×B=(B×A)
III. A×B=(ABsinθ)ˆn

 

Ax, Ay, Az যথাক্রমে X,Y,Z অক্ষ বরাবর এর  উপাংশ
Bx, By, Bz যথাক্রমে X,Y,Z অক্ষ বরাবর এর  উপাংশ

 

৩.একক ভেক্টর
ˆn=A¯|A|

ˆn= একটি একক ভেক্টর যা ক্রস গুণফলের দিক নির্দেশ করে
|A|=A এর মান

 

৪.ভেক্টর যোজন (সামান্তরিকের সূত্র :)

I. R=P2+Q2+2PQcos
II. tanθ=Qsinαp+Qcosα

 

PQ

 

∝=P ও Q এর মধ্যবর্তী কোণ

 

R= লব্ধি

 

θ=P ও Q এর মধ্যবর্তী কোণ

 

৫.ভেক্টরের মান :
|A|=A2x+A2Y+A2z

 

 

৬.ভেক্টর বিভাজন যে কোনো দুই দিকে:
psinθ=Qsinφ=Rsin(θ+φ)
ভেক্টর বিভাজন (পরস্পর লম্ব দুই দিকে)

 

φ=Q ও R এর মধ্যবর্তী কোণ

 

৭. ˆi,ˆj,ˆk  –এর পারস্পারিক ডট গুণফল :
(i) ˆi.ˆı=ˆȷˆȷ=ˆkˆk=1
(ii) ˆıˆȷ=ˆȷˆk=ˆkˆı=0

 

i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর
j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর
k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর

 

৮. ˆi,ˆj,ˆk এর পারস্পরিক ভেক্টর গুণফল :
(i)ˆı׈1=ˆȷ׈ȷ=ˆk׈k=0
(ii) ˆı׈j=ˆk,ˆj׈ı=ˆk
( iii )ˆȷ׈k=ˆ1,ˆk׈ȷ=ˆ1
(iv)ˆk׈ı=ˆȷ,ˆı׈k=ˆj

 

i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর
j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর
k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর

 

 

৯.অবস্থান ভেক্টর
(i) r=ˆıx+ˆjy+ˆkz
(ii) r=x2+y2+z2

 

r = অবস্থান ভেক্টর
r =  অবস্থান ভেক্টরের মান
x ,y, z = r এর স্থানাঙ্ক

 

১০.লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় :
(ⅰ) P এর উপর Q এর লম্ব অভিক্ষেপ =PQQ
(ⅱ) Q এর উপর P এর লম্ব অভিক্ষেপ =PQp

 

 

১১. A=ˆıA1+ˆjA2+ˆkA3 এবং
B=ˆıB1+ˆjB2+ˆkB3 হলে,
AB=A1 B1+A2 B2+A3 B3

A×B=[ˆ1ˆjˆkA1 A2 A3 B1 B2 B3]

 

i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর
j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর
k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর

 

১২. সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =|A×B|

যেখানে A  ও B সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়  

 

১৩.রম্বসের ক্ষেত্রফল = 12|A×B|

যেখানে রম্বসের কর্ণদ্বয় A  ও B

 

১৪. (ⅰ) A এবং B পরস্পর সমান্তরাল হবে,যদি A×B=0 হয় ।
(ⅱ) A এবং B পরস্পর লম্ব হবে,যদি AB=0 হয় ।

 

 

 

 

গাণিতিক সমস্যার উদহারণ

 

১. 6 একক  ও 4 একক  মানের দুইটি ভেক্টর একটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল । এর ভূমির সাথে যথাক্রমে 30° ও 60° কোণ করে। এদের লব্ধির আনুভূমিক ও উলম্ব উপাংশের মান কত?

সমাধান :

⇒ লব্ধির আনুভূমিক উপাংশের মান = 6 cos30° + 4 cos60°
                                                = (3√3+2)                     [ans.]

লব্ধির উলম্ব উপাংশের মান = 6 sin30° + 4 sin60°
= (3+2√3)                                 [ans.]

 

২. একটি গাড়ি 20ms-1 বেগে চলা অবস্থায় বৃষ্টি লম্বভাবে 15ms-1 বেগে পড়ছে। আনুভূমিকের সাথে কত কোণে বৃষ্টি গাড়ির কাঁচে পড়বে?

সমাধান :

tanθ = VR/VC = 15/20                                       VR = 15ms-1
∴ θ = 36°52′                 [ans.]                         VC = 20ms-1

 

৩. A̅ = 4î+5ĵ-7k̂  , B̅ = 3î+6ĵ-2k̂      

        
(i) A̅ + B̅ = ?
(ii) A̅ - B̅ = ?

সমাধান :

A̅ + B̅ = 7î + 11ĵ - 9k̂    [ans.]
A̅ - B̅ = î + ĵ - 5k̂                      [ans.]

 

৪. A̅ = 3î-4ĵ+2k̂  , B̅ = 6î+2ĵ-3k̂     

(i) A̅ . B̅ = ?
(ii) A̅ × B̅   = ?

সমাধান :

A̅ . B̅ = (3î-4ĵ+2k̂) (6î+2ĵ-3k̂ )
= 18-8-6
∴ A̅ × B̅    = 4                           [ans.]

A×b=ˆiˆjk342623

 

= î (12-4) – ĵ (-9-12) + k̂ (6+24)
= 8î + 21ĵ + 30k̂               [ans.]

 

৫. P̅ = 2î + ĵ - 3k̂   ;  Q̅ = 3î + 2ĵ - k̂ ;  ও  এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

সমাধান :

⇒ P̅.Q̅ = PQ cosθ
⇒ (2î + ĵ - 3k̂)(3î + 2ĵ - k̂) = 22+12+3222+12+32 cosθ
⇒ 6-2-3 = √(4+1+9).√(9+4+1) cosθ
⇒ 1 = √14.√14 cosθ
⇒ θ = cos-1(1/14)
∴ θ = 86°                      [Answer]

 

৬. P̅ = 3î - 2ĵ + k̂ ; Q̅ = 4î + mĵ - 6k̂, m-এর মান কত হলে P̅ ও Q̅ পরস্পর লম্ব হবে?

সমাধান :

⇒ P̅. Q̅ = PQ cosθ
⇒ cosθ = ( P̅. Q̅)/(PQ)

cosθ=(3ˆi2ˆȷ+ˆk)(4ˆ1+mˆj6ˆk)32+22+1242+m2+62

0=122m69+4+116+m2+36

⇒ 12-2m-6 = 0
⇒ 2m = 6
∴ m = 3     

                   [Answer]

৭. A̅ = 2î - ĵ + k̂  , B̅ = î + 2ĵ + 2k̂; B̅ বরাবর এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

সমাধান :

: B̅ বরাবর A̅ এর লম্ব অভিক্ষেপ-
A cosθ = (A̅ . B̅ ) / B = (2î - ĵ + k̂ ) (î + 2ĵ + 2k̂) / √ (12+22+22)
= (2-2+2)/√9
= 2/3                [Answer]

 

৮. F̅ = î - 2ĵ - k̂ ; S̅ = 5î - 8ĵ + 3k̂  ; F̅  বল এবং S̅  সরণ হলে F̅  বলের ক্রিয়ায় কৃত কাজের পরিমাণ বের কর।

সমাধান :

W = F̅.S̅ = (î - 2ĵ - k̂) (5î - 8ĵ + 3k̂)
= 5+16-3
∴ W = 18 একক                          [Answer]