সাধারণ ধারণা
1. A (x1,y1) ও B (x2,y2) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল(gradient) ,
m = কোটিদ্বয়ের অন্তর / ভুজদ্বয়ের অন্তর = $\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}$
2. ax+by+c=0 সরলরেখার ঢাল, m = -(a/b)
3. A (x1, y1), B (x2, y2) এবং C (x3, y3) বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে যদি AB এবং AC রেখাদ্বয়ের ঢাল একই হয় ।
অর্থাৎ যদি, $\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}$ হয়
4. x অক্ষের সমীকরণ, y = 0
5. y অক্ষের সমীকরণ, x = 0
6. x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, y = b
7. y অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, x = a
8. y অক্ষ থেকে নিদিষ্ট অংশ c ছেদ করে এবং x অক্ষের সাথে ধনাত্মক কোণ θ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, y = mx+c
এখানে, m = সরলরেখার ঢাল = tanθ
c = 0 হলে সরলরেখাটি মূলবিন্দুগামী হয় এবং সমীকরণটি দাড়ায়, y = mx
9.(x1,y1) বিন্দুগামী m ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ
y-y1 = m(x-x1)
10.(x1, y1) ও (x2,y2) বিন্দুগামী এবং y অক্ষের সমান্তরাল নয় এরূপ রেখার সমীকরণ,
$\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}$
11.মূলবিন্দু (0,0) এবং (x1,y1) বিন্দুর সংযোগকারী সরলরেখার সমীকরণ,
(x/x1) = (y/y1)
12.x অক্ষ থেকে নির্দিষ্ট অংশ a এবং y অক্ষ থেকে নির্দিষ্ট অংশ b ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, x/a + y/b = 1
সরলরেখাটি x অক্ষরেখাকে (a,0) এবং y অক্ষরেখাকে (0,b) বিন্দুতে ছেদ করে
13. মূলবিন্দু থেকে যে সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে Θ কোণ উৎপন্ন করে এবং যার উপর মূলবিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য p তার সমীকরণ, x cosθθ + ysinθθ = p
14. দুইটি সরলরেখার সমীকরণ সমাধান করলে তাদের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক পাওয়া যায় ।
15. a1x+b1y+c1 = 0 এবং a2x+b2y+c2 = 0 সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
a1x+b1y+c1+k(a2x+b2y+c2) = 0
k-এর বিভিন্ন মানের জন্য সমীকরণটি বিভিন্ন সরলরেখা প্রকাশ করে যার প্রত্যেকেই উক্ত ছেদ বিন্দুগামী ।
16. (x1, y1) ও (x2,y2) বিন্দুদ্বয় ax+by+c = 0 রেখার একই পার্শ্বে অবস্থিত হবে যদি a1x+b1y+c এবং a2x+b2y+c রাশিদ্বয় একই চিহ্নবিশিষ্ট হয় ।
17. (x1, y1) ও (x2,y2) বিন্দুদ্বয় ax+by+c = 0 রেখার বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত হবে যদি a1x+b1y+c এবং a2x+b2y+c রাশিদ্বয় বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট হয় ।
18. দুইটি সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে m1 ও m2 হলে তারা পরস্পর লম্ব হবে যদি m1×m2 = -1 হয় এবং তারা পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি m1= m2 হয় ।
19. a1x+b1y+c1 = 0 এবং a2x+b2y+c2 = 0 রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে যদি a1a2+b1b2 = 0 হয় এবং তারা পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি (a1/b1) = (a2/b2) হয় ।
20. দুইটি সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে m1 ও m2 এবং তাদের মধ্যবর্তী/অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
$\tan \theta=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}$
tanθ এর ধনাত্মক মান অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণ এবং ঋণাত্মক মান অন্তর্ভুক্ত স্থূল কোণ নির্দেশ করে ।
21. a1x+b1y+c1 = 0 এবং a2x+b2y+c2 = 0 এবং রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
$\tan \theta=\pm \frac{a_{1} b_{2}-b_{1} a_{2}}{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}}$
tanθ এর ধনাত্মক মান অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণ এবং ঋণাত্মক মান অন্তর্ভুক্ত স্থূল কোণ নির্দেশ করে ।
22. ax+by+c1 = 0 রেখার সমান্তরাল কোনো রেখার সমীকরণ হবে, ax+by+c2 = 0 অর্থাৎ,শুধু ধ্রুবক পদটির পরিবর্তন হবে ।
23. (x1,y1) বিন্দুগামী এবং ax+by+c = 0 রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ, a(x-x1)+b(y-y1) = 0
24. ax+by+c1 = 0 রেখার লম্ব কোনো রেখার সমীকরণ হবে, bx-ay+c2 = 0 অর্থাৎ, x ও y এর সহগদ্বয় পরস্পর স্থান পরিবর্তন করবে, এদের একটির চিহ্ন পরিবর্তিত হবে এবং ধ্রুবক পদটি পরিবর্তিত হবে ।
25. (x1,y1) বিন্দুগামী এবং ax+by+c = 0 রেখার লম্ব রেখার সমীকরণ, b(x-x1) – a(y-y1) = 0
26. a1x+b1y+c1 = 0; a2x+b2y+c2 = 0 এবং a3x+b3y+c3 = 0 রেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি,
$\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|=0$ হয় ।
27. উক্ত রেখাত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\frac{\mathrm{D}^{2}}{2 \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}_{2} \mathrm{C}_{3}}$
যেখানে, $\mathrm{D}=\left|\begin{array}{lll}\mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2} & \mathrm{c}_{2} \\ \mathrm{a}_{3} & \mathrm{~b}_{3} & \mathrm{c}_{3}\end{array}\right|$ এবং C1, C2, C3 যথাক্রমে c1, c2, c3 এর সহগুণক ।
28. ax+by+c = 0 সরলরেখা থেকে (x1,y1) বিন্দুর লম্ব দূরত্ব,
$\mathrm{d}=\frac{\left|a x_{1}+b y_{1}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
29. দুইটি সমান্তরাল রেখা ax+by+c1 = 0 ও ax+by+c2 = 0 এর মধ্যবর্তী দূরত্ব, $\mathrm{d}=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
30. a1x+b1y+c1 = 0 এবং a2x+b2y+c2 = 0 রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,
$\frac{a_{1} x+b_{1} y+c_{1}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\pm \frac{a_{2} x+b_{2} y+c_{2}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$
- a1a2+b1b2 > 0 হলে + চিহ্নধারী সমীকরণটি স্থূলকোণের এবং - চিহ্নধারী সমীকরণটি সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখণ্ডক নির্দেশ করে ।
- a1a2+b1b2 < 0 হলে + চিহ্নধারী সমীকরণটি সূক্ষ্মকোণের এবং – চিহ্নধারী সমীকরণটি স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডক নির্দেশ করে ।
গাণিতিক সমস্যার উদাহরণ ও সমাধান
1. (-1,3) ও (4,-2) বিন্দুগামী সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশটুকুর দৈর্ঘ্য কত ?
সমাধানঃ
উক্ত বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
$\frac{x+1}{-1-4}=\frac{y-3}{3+2}$ [(x1, y1) ও (x2,y2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, $\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}$ ]
⇒ $\frac{x+1}{-5}=\frac{y-3}{5}$
⇒ x+1 = -y+3
⇒ x+y = 2
⇒ x/2 + y/2 = 0 [x/a + y/b = 1 সরলরেখা x অক্ষকে (a,0) ও y অক্ষকে (0,b) বিন্দুতে ছেদ করে]
∴ সরলরেখাটি x অক্ষকে (2,0) এবং y অক্ষকে (0,2) বিন্দুতে ছেদ করে ।
∴ অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশ = $\sqrt{(2-0)^{2}+(0-2)^{2}}$
[(x1,y1) ও (x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = $\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$ ]
= √8
= 2√2 [ans.]
2. এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা (3,2) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। যেন OA-OB = 2 হয়, যখন O মূলবিন্দু।
সমাধানঃ
ধরি, সরলরেখাটির সমীকরণ, x/a + y/b = 1 
সরলরেখাটি (3,2) বিন্দুগামী ।
∴ 3/a + 2/b = 1
⇒ 3b+2a = ab ...(i)
আবার, OA-OB = 2
⇒ a-b = 2
⇒ a = 2+b
∴ (i) ⇒ 3b+2(2+b) = (2+b)b
⇒ b2-3ab-4 = 0
⇒ b = 4, -1
যখন, b = 4 তখন, a = 6
∴ x/6 + y/4 = 1
⇒ 2x+3y = 12 [ans.]
যখন, b = -1 তখন, a = 1
∴ x/1 + y/-1 = 1
⇒ x-y = 1 [ans.]
3. ax+by = c এবং x cosα + y sinα = p একই সরলরেখা নির্দেশ করলে p এর মান a,b তে প্রকাশ কর ।
সমাধানঃ
∴ $\frac{a}{\cos \alpha}=\frac{b}{\sin \alpha}=\frac{c}{p}$
⇒ $\frac{a^{2}}{\cos ^{2} \alpha}=\frac{b^{2}}{\sin ^{2} \alpha}=\frac{c^{2}}{p^{2}}$
⇒ $\frac{c^{2}}{p^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}$
⇒ $\frac{c^{2}}{p^{2}}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}$
⇒ $\mathrm{p}^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}$
∴ $\mathrm{p}=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ [answer]
4. একটি সরলরেখা অক্ষ দুইটি থেকে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে । মূলবিন্দু থেকে তার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 4 একক । তার সমীকরণ বের কর ।
সমাধানঃ
সরলরেখাটি অক্ষ দুইটি থেকে সমমানের যোগবোধক a অংশ ছেদ করলে,
সরলরেখার সমীকরণ, x/a + y/a = 1
⇒ x+y = a ...(i)
আবার, মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির উপর অঙ্কিত লম্ব যদি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে α কোণ উৎপন্ন করে তবে,
সরলরেখাটির সমীকরণ, x cosα + y sinα = 4
∵ (i) ও (ii) একই সরলরেখা নির্দেশ করে
∴ 1/cosα = 1/sinα = a/4
⇒ $\frac{1}{\cos ^{2}}=\frac{1}{\sin ^{2}}=\frac{a^{2}}{16}$
⇒ $\frac{a^{2}}{16}=\frac{1+1}{\cos ^{2}+\sin ^{2}}$
⇒ a2 = 16×2
⇒ a = 4√2 [answer]
5. k এর সব মানের জন্য একগুচ্ছ সরলরেখা (3+2k)x+5ky-3 = 0 একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী। বিন্দুটির স্থানাংক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
এখানে, (3+2k)x+5ky-3 = 0
⇒ 3x+2kx+5ky-3 = 0
⇒ 3x-3+k(2x+5y) = 0 ...(i)
(i) সমীকরণটি 3x-3=0 ⇒ x-1=0 ⇒ x=1 এবং 2x+5y=0 সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সকল রেখার জন্য সত্য ।
x=1 এবং 2x+5y=0 সমাধান করে পাই,
x=1, y=-2/5
∴ (1,-2/5) নির্ণেয় বিন্দু । [ans.]
6. (-1,2) বিন্দু দিয়ে যায় এবং 3x-y+7=0 রেখার সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ
এখানে, 3x-y+7=0 রেখার ঢাল = -(3/-1) = 3 [ax+by+c=0 রেখার ঢাল = -(a/b) ]
উক্ত রেখার সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার ঢাল m হলে,
tan 45° = ±(3-m)/(1+3m)
⇒ 1 = ± (3-m)/(1+3m)
[দুইটি সরলরেখার ঢাল m1 ও m2 এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ θ হলে, $\tan \theta=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}$]
‘+’ নিয়ে পাই, 3-m = 1+3m ⇒ 4m = 2 ⇒ m = ½
‘-’ নিয়ে পাই, -3+m = 1+3m ⇒ 2m = -4 ⇒ m = -2
∴ (-1,2) বিন্দুগামী m = ½ ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
y-2 = ½ (x+1) [(x1,y1) বিন্দুগামী m ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, y-y1 = m(x-x1)]
⇒ 2y-4 = x+1
⇒ x-2y+5 = 0 [ans.]
আবার, (-1,2) বিন্দুগামী m = -2 ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
y-2 = -2(x+1)
⇒ y-2 = -2x-2
⇒ 2x+y = 0 [ans.]
7. y অক্ষের সমান্তরাল এবং 2x-3y+4 = 0 ও 3x+3y-5 = 0 রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ
2x-3y+4 = 0
3x+3y-5 = 0
সমাধান করে, x = 1/5, y = 22/15 [use calculator to solve equations to save time]
∵ সরলরেখাটি y অক্ষের সমান্তরাল
∴ সরলরেখার সমীকরণ, x = 1/5
⇒ 5x-1 = 0 [ans.]
8. এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা 2x+3y+4 = 0 এবং 3x+4y-5 = 0 রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং 6x-7y+8 = 0 রেখার উপর লম্ব।
সমাধানঃ
2x+3y+4 = 0 ও 3x+4y-5 = 0 এর ছেদবিন্দুর স্থানাংক ≡ (-33,22) [use calculator]
∴ (-33,22) বিন্দুগামী 6x-7y+8 = 0 রেখার লম্ব রেখার সমীকরণ, -7(x+31)-6(y-22) = 0
[(x1,y1) বিন্দুগামী ax+by+c = 0 রেখার লম্ব রেখার সমীকরণ, b(x-x1)-a(y-y1)=0]
⇒ -7x-217-6y+132 = 0
⇒ 7x+6y-85 = 0 [ans.]
9. (8,5), (-4,3) বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখার লম্ব দ্বিখণ্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ
উক্ত বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার ঢাল = (5-3)/(8+4) = 1/6 [ ঢাল = কোটিদ্বয়ের অন্তর / ভুজদ্বয়ের অন্তর ]
∴ উক্ত সরলরেখার লম্ব সরলরেখার ঢাল = $-\frac{1}{1 / 6}$ = -6
[দুটি সরলরেখার ঢালের গুণফল -1 হলে তারা পরস্পর লম্ব]
(8,5),(-4,3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার মধ্যবিন্দু ≡ $\left(\frac{8-4}{2}, \frac{5+3}{2}\right) \mid$ ≡ (2,4)
[(x1,y1) ও (x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার মধ্যবিন্দু ≡ $\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ ]
∴ (2,4) বিন্দুগামী -6 ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
y-4 = -6(x-2) [(x1,y1) বিন্দুগামী m ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, y-y1 = m(x-x1)]
⇒ y-4 = -6x+12
⇒ 6x-y+26 = 0 [answer.]
10. এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষ দুইটির মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশ (-4,3) বিন্দুতে 5:3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
সমাধানঃ
ধরি, সরলরেখাটির সমীকরণ, x/a+y/b = 1
অর্থাৎ সরলরেখাটি x অক্ষকে (a,0) ও y অক্ষকে (0,b) বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখা যে বিন্দুতে 5:3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তার,
স্থানাংক ≡ $\left(\frac{5 \times 0+3 \times a}{5+3}, \frac{5 \times b+3 \times 0}{5+3}\right)$ ≡ (3a/8, 5b/8)
[(x1,y1) ও (x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা যে বিন্দুতে m1:m2 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়, তার স্থানাংক ≡ $\left(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)$ ]
কিন্তু, 3a/8 = -4
⇒ a = -4(8/3)
⇒ a = -32/3
এবং, 5b/8 = 3
⇒ b = 3(8/5)
⇒ b = 24/3
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ, $\frac{x}{-32 / 3}+\frac{y}{24 / 5}=1$
⇒ -3x/32 + 5y/24 = 1
⇒ 9x-20y = -96
⇒ 9x-20y+96 = 0 [answer.]
11. 12x-5y = 7 রেখার 2 একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ
12x-5y-7 = 0 রেখার সমান্তরাল কোন রেখার সমীকরণ, 12x-5y+c=0
প্রশ্নমতে, $\frac{|c+7|}{\sqrt{12^{2}+5^{2}}}=2$ = 2
[ax+by+c1=0 ও ax+by+c2=0 সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব = $\frac{\left|c_{1}+c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ ]
⇒ ± (c+7) = 26
হয়, c+7 = 26 অথবা, -c-7 = 26
⇒ c = 19 ⇒ c =-33
∴ নির্ণেয় রেখাংশ, 12x-5y+19 = 0 এবং 12x-5y-33 = 0
12. x-3y+2=0; x-6y+3=0; x+ay=0 রেখা তিনটি সমবিন্দু হলে a এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ
∵ রেখাত্রয় সমবিন্দু
∴ $\left|\begin{array}{lll}1 & -3 & 2 \\ 1 & -6 & 3 \\ 1 & \text { a } & 0\end{array}\right|=0$
⇒ $\left|\begin{array}{lcc}0 & 3 & -1 \\ 0 & -(\mathrm{a}+6) & 3 \\ 1 & \mathrm{a} & 0\end{array}\right|=0$ [r1´= r1-r2 ; r2´= r2-r3]
⇒ 9-(a+6) = 0
∴ a = 3 [Answer.]
13. 4x+3y = c এবং 12x-5y = 2(c+3) রেখা দুইটি মূলবিন্দু থেকে সমদূরবর্তী । c এর ধনাত্মক মান নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ
এখানে,
$\frac{|4 \times 0+3 \times 0-c|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\frac{|12 \times 0-5 \times 0-2(c+3)|}{\sqrt{12^{2}+5^{2}}}$
⇒ c/5 = 2(c+3)/13
⇒ 13c = 10c+30
⇒ c = 10 [Answer.]