ত্রিভুজের গুণাবলী

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী

সাধারণত কোনো ত্রিভুজ ABC এর ∠BAC, ∠ABC এবং ∠ACB কোণগুলোকে যথাক্রমে A, B, C দ্বারা এবং A, B, C কোণগুলোর বিপরীত বাহুগুলোকে যথাক্রমে a, b, c দ্বারা নির্দেশ করা হয়।

1. কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য তাদের বিপরীত কোণের sine এর সমানুপাতিক। অর্থাৎ,

$\frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{\mathrm{c}}{\sin \mathrm{C}}=2 \mathrm{R}$ [R হল ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ]

2. $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} ; \cos B=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a} ; \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$

3. $a=b \cos C+c \cos B ; b=c \cos A+a \cos C ; c=a \cos B+b \cos A$

 

4. s = ত্রিভুজের পরিসীমার অর্ধেক = $\frac{a+b+c}{2}$

 

$5 \cdot \sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{b c}} ; \sin \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(s-c)(s-a)}{c a}} ; \sin \frac{c}{2}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{a b}}$

$6 \cdot \cos \frac{\mathrm{A}}{2}=\sqrt{\frac{s(s-\mathrm{a})}{\mathrm{bc}}} ; \cos \frac{\mathrm{B}}{2}=\sqrt{\frac{s(s-\mathrm{b})}{\mathrm{ca}}} ; \cos \frac{\mathrm{c}}{2}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{\mathrm{ab}}}$

7. $\tan \frac{\mathrm{A}}{2}=\sqrt{\frac{(s-\mathrm{b})(s-c)}{s(s-\mathrm{a})}} ; \tan \frac{\mathrm{B}}{2}=\sqrt{\frac{(s-\mathrm{c})(s-\mathrm{a})}{s(s-\mathrm{b})}} ; \tan \frac{\mathrm{c}}{2}=\sqrt{\frac{(s-\mathrm{a})(s-\mathrm{b})}{s(s-\mathrm{c})}}$

8. $\tan \frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}} \cot \frac{\mathrm{c}}{2} ; \tan \frac{\mathrm{B}-\mathrm{C}}{2}=\frac{\mathrm{b}-\mathrm{c}}{\mathrm{b}+\mathrm{c}} \cot \frac{\mathrm{A}}{2} ; \tan \frac{\mathrm{C}-\mathrm{A}}{2}=\frac{\mathrm{c}-\mathrm{a}}{\mathrm{c}+\mathrm{a}} \cot \frac{\mathrm{B}}{2}$

9. Δ = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের গুণফল × ঐ দুই বাহুর অন্তর্গত কোণের sine

$\therefore \Delta=\frac{1}{2} \mathrm{ab} \sin \mathrm{C}=\frac{1}{2} \mathrm{bc} \sin \mathrm{A}=\frac{1}{2} \mathrm{ca} \sin \mathrm{B}=\frac{\mathrm{abc}}{4 \mathrm{R}}=\sqrt{\mathrm{s}(\mathrm{s}-\mathrm{a})(\mathrm{s}-\mathrm{b})(\mathrm{s}-\mathrm{c})}$

উদাহরণ 1. যদি কোনো ত্রিভুজে a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2c² (a² + b²) হয়, তবে C = ?

সমাধান:

এখানে,

$a^{4}+b^{4}+c^{4}=2 c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)$

$\Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}=2 c^{2} a^{2}+2 b^{2} c^{2}$

$\Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}-2 c^{2} a^{2}-2 b^{2} c^{2}=0$

 

$\Rightarrow\left(a^{2}\right)^{2}+\left(b^{2}\right)^{2}+\left(-c^{2}\right)^{2}+2 a^{2} b^{2}+2 b^{2}\left(-c^{2}\right)+2\left(-c^{2}\right)^{2} a^{2}=2 a^{2} b^{2}$

$\Rightarrow\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)^{2}=2 a^{2} b^{2} \quad\left[(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a\right]$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}-c^{2}=\pm a b \sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \cos C=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \cos 45^{\circ}$

হয়,

$\cos C=\cos 45^{\circ}$

$\therefore C=45^{\circ}$

অথবা,

$\cos C=-\cos 45^{\circ}$

$\Rightarrow \cos C=\cos \left(180^{\circ}-45^{\circ}\right)$

$\Rightarrow \cos C=\cos 135^{\circ}$

$\therefore C=135^{\circ}$

 

উদাহরণ 2. ΔABC ত্রিভুজে cos A = sin B ‒ cos C হলে, C = ?

সমাধান:

এখানে,

$\cos A=\sin B-\cos C$

$\Rightarrow \cos A+\cos C=\sin B$

$\Rightarrow \cos A+\cos \{\pi-(A+B)\}=\sin B \quad[A+B+C=\pi]$

$\Rightarrow \cos A-\cos (A+B)=\sin B$

$\Rightarrow 2 \sin \frac{2 A+B}{2} \sin \frac{B}{2}=2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2} \quad\left[\cos C-\cos D=2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-c}{2} ; \sin \theta=2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}\right]$

$\Rightarrow \sin \left(A+\frac{B}{2}\right)=\cos \frac{B}{2}$

$\Rightarrow \sin \left(A+\frac{B}{2}\right)=\sin \left(90^{\circ}-\frac{B}{2}\right)$

$\Rightarrow A+\frac{B}{2}=90^{\circ}-\frac{B}{2}$

 

$\Rightarrow \mathrm{A}+\mathrm{B}=90^{\circ}$

$\therefore \mathrm{C}=180^{\circ}-(\mathrm{A}+\mathrm{B})=90^{\circ}$

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন

1. ABC ত্রিভুজে cos A + cos C = sin B হলে, ∠C সমান ‒

[DU 2004-2005]

(A) 30° (B) 60° (C) 90° (D) 45°

সমাধান:

1.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

∴ Answer: (C)