ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ

সাধারণ সমাধান

θ কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত = α কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

$\sin \theta=\sin \alpha \Rightarrow \theta=n \pi+(-1)^{n} \alpha$
$\cos \theta=\cos \alpha \Rightarrow \theta=2 n \pi \pm \alpha$
$\tan \theta=\tan \alpha \Rightarrow \theta=n \pi+\alpha$

সাধারণ সমাধান: θ কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত = 0

$\begin{aligned} \sin \theta &=0 \Rightarrow \theta=n \pi \\ \cos \theta=0 & \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \\ \tan \theta &=0 \Rightarrow \theta=n \pi \end{aligned}$

সাধারণ সমাধান: θ কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত = ± 1

$\sin \theta=1 \Rightarrow \theta=(4 n+1) \frac{\pi}{2} ; \sin \theta=-1 \Rightarrow \theta=(4 n-1) \frac{\pi}{2}$
$\cos \theta=1 \Rightarrow \theta=2 n \pi ; \cos \theta=-1 \Rightarrow \theta=(2 n+1) \pi$
$\tan \theta=1 \Rightarrow \theta=n \pi+\frac{\pi}{4} ; \tan \theta=-1 \Rightarrow \theta=n \pi-\frac{\pi}{4}$

উদাহরণ 1. সমাধান কর: $\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta=\sqrt{2}$

সমাধান:

পদ্ধতি 1:

প্রথমে প্রদত্ত সমীকরণের অনুপাতগুলোকে এক জাতীয় অনুপাতে রূপান্তরিত করতে হবে। এরপর সবগুলো রাশি বামপক্ষে এনে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে কিংবা দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হবে। এক্ষেত্রে,

$\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta=\sqrt{2}$
$\Rightarrow \cos \theta-\sqrt{2}=-\sqrt{3} \sin \theta$

$\Rightarrow(\cos \theta)^{2}-2 \cdot \cos \theta \cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=(-\sqrt{3} \sin \theta)^{2}$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

$\Rightarrow \cos ^{2} \theta-2 \sqrt{2} \cos \theta+2=3 \sin ^{2} \theta$
$\Rightarrow \cos ^{2} \theta-2 \sqrt{2} \cos \theta+2=3\left(1-\cos ^{2} \theta\right) \quad\left[\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1\right]$
$\Rightarrow \cos ^{2} \theta+3 \cos ^{2} \theta-2 \sqrt{2} \cos \theta+2-3=0$
$\Rightarrow 4 \cos ^{2} \theta-2 \sqrt{2} \cos \theta-1=0$
$\therefore \cos \theta$

$=\frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{(2 \sqrt{2})^{2}-4.4(-1)}}{2.4}$

$=\frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8+16}}{8}$

$=\frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \times 6}}{8}$

$=\frac{2 \sqrt{2} \pm 2 \sqrt{2 \times 3}}{8}$

$=\frac{2 \sqrt{2} \pm 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{4 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$=\frac{2 \sqrt{2}(1 \pm \sqrt{3})}{4 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$=\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

হয়,

$\cos \theta=\frac{1+\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

$\Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{\pi}{12}$

$\Rightarrow \theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{12}$

 

অথবা,

$\cos \theta=\frac{1-\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

$\Rightarrow \cos \theta=\cos \frac{7 \pi}{12}$

$\Rightarrow \theta=2 n \pi \pm \frac{7 \pi}{12}$

 

কত ডিগ্রী কোণের cos অনুপাতের মান $\frac{1+\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ বা $\frac{1-\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ তা Calculator এর ত্রিকোণমিতিক inverse ফাংশন ব্যবহার করে বের করা যায়।

∴ $\theta=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{12}$  এবং $2 n \pi \pm \frac{7 \pi}{12}$

কিন্তু, $2 n \pi-\frac{\pi}{12}$ এবং $2 n \pi-\frac{7 \pi}{12}$ এর জন্য θ এর প্রান্তিক বাহুর অবস্থান হয় চতুর্থ চতুর্ভাগে যেখানে sin অনুপাত ঋণাত্মক। $2 \mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{12}$ এবং $2 n \pi-\frac{7 \pi}{12}$  মূল দুইটি মূলত $\cos \theta-\sqrt{3} \sin \theta=\sqrt{2}$ সমীকরণের সমাধান যা প্রদত্ত সমীকরণকে বর্গ করার ফলে সমাধানের অন্তর্ভুক্ত হয়েছে।

∴ নির্ণেয় সমাধান: $\theta=2 n \pi+\frac{\pi}{12}, 2 n \pi+\frac{7 \pi}{12}$

পদ্ধতি 2:

সমীকরণের উভয়পক্ষকে cos θ ও sin θ এর সহগের বর্গমূল দ্বারা ভাগ করলে নতুন সহগ বিশিষ্ট সমীকরণ পাওয়া যায়। cos θ এর সহগকে আনুষঙ্গিক cos অনুপাতের এবং sin θ এর সহগকে আনুষঙ্গিক sin অনুপাত দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সূত্র প্রয়োগ করলে বামপক্ষে শুধুমাত্র cos অনুপাত অবশিষ্ট থাকে। ডানপক্ষে আনুষঙ্গিক cos অনুপাত বসিয়ে cos এর সাধারণ সমাধানের সূত্র প্রয়োগ করলে প্রদত্ত সমীকরণের সাধারণ সমাধান পাওয়া যায়। এক্ষেত্রে,

cos θ এর সহগ = 1

sin θ এর সহগ = $\sqrt{3}$

∴ সহগদ্বয়ের বর্গের যোগফলের বর্গমূল = $\sqrt{(1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$

সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণ:

$\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta=\sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} \cos \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$  [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

$\Rightarrow \cos \theta \cos \frac{\pi}{3}+\sin \theta \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$ [0°, 30°, 45°, 60° ও 90° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান]

$\Rightarrow \cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$  [cos (A ‒ B) = cos A cos B + sin A sin B]

$\Rightarrow \cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=\cos \frac{\pi}{4}$

$\Rightarrow \theta-\frac{\pi}{3}=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{4}$  [cos θ = cos α হলে θ = 2nπ ± α]

হয়,

$\theta-\frac{\pi}{3}=2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4} \Rightarrow \theta=2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}=2 \mathrm{n} \pi+\frac{7 \pi}{12}$

অথবা,

$\theta-\frac{\pi}{3}=2 \mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4} \Rightarrow \theta=2 \mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}=2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{12}$

উদাহরণ 2. সমাধান কর: cos x + sin x = cos 2x + sin 2x

সমাধান:

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের যোগফলরূপে কোণের গুণিতক থাকলে সূত্র প্রয়োগ করে তাদের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের গুণফলরূপে প্রকাশ করে অধিকাংশ সময় সমাধান করা যায়। এক্ষেত্রে,

$\cos x+\sin x=\cos 2 x+\sin 2 x$
$\Rightarrow \cos x-\cos 2 x=\sin 2 x-\sin x$

$\Rightarrow 2 \sin \frac{x+2 x}{2} \sin \frac{2 x-x}{2}=2 \cos \frac{2 x+x}{2} \sin \frac{2 x-x}{2}$ [ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের যোগ বা বিয়োগফল গুণফলে রূপান্তর]

$\Rightarrow \sin \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2}=\cos \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2}$

$\Rightarrow \sin \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2}-\cos \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2}=0$

$\Rightarrow \sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{3 x}{2}-\cos \frac{3 x}{2}\right)=0$

হয়,

$\sin \frac{x}{2}=0$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{x}}{2}=\mathrm{n} \pi$ [sin θ = 0 হলে θ = nπ]

∴ x = 2nπ

অথবা,

$\sin \frac{3 x}{2}-\cos \frac{3 x}{2}=0$

$\Rightarrow \sin \frac{3 x}{2}=\cos \frac{3 x}{2}$

$\Rightarrow \frac{\sin \frac{3 x}{2}}{\cos \frac{3 x}{2}}=1$

$\Rightarrow \tan \frac{3 x}{2}=1$

 

$\Rightarrow \frac{3 \mathrm{x}}{2}=\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}$  [tan θ = 1 হলে $\theta=\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}$ ]

∴ $\mathrm{x}=\frac{2}{3}\left(\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}\right)$

উদাহরণ 3. সমাধান কর: cot θ + tan θ = 2 sec θ

সমাধান:

সমীকরণে tan, cot, sec, cosec একসাথে থাকলে তাদের যথাক্রমে $\frac{\sin }{\cos }, \frac{\cos }{\sin }, \frac{1}{\cos }, \frac{1}{\sin }$ এ রূপান্তরিত করলে অনেক ক্ষেত্রেই সমাধান সহজতর হয়। এক্ষেত্রে,

$\cot \theta+\tan \theta=2 \sec \theta$

$\Rightarrow \frac{\cos \theta}{\sin \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=2 \frac{1}{\cos \theta}$

$\Rightarrow \frac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}=2 \frac{1}{\cos \theta}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sin \theta}=2$

$\Rightarrow \sin \theta=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \sin \theta=\sin \frac{\pi}{6}$

 

∴ $\theta=\mathrm{n} \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{6}$ [sin θ = sin α হলে θ = $\theta=n \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \alpha$ ]

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন

1. $4\left(\sin ^{2} \theta+\cos \theta\right)=5$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান ‒

[DU 2003-2004, 2009-2010]

(A) $2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{2}$
(B) $2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}$
(C) $2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{4}$
(D) $2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{5}$

 

2. $4\left(\sin ^{2} \theta+\cos \theta\right)=5$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান ‒

[DU 2004-2005, 2011-2012]

(A) $\theta=2 \mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{3}$
(B) $\theta=2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{6}$
(C) $\theta=2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{3}$
(D) $\theta=2 \mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}$

3. cot x ‒ tan x = 2 সমীকরণের সাধারণ সমাধান ‒

[DU 2005-2006]

(A) $\frac{\mathrm{n} \pi}{4}$
(B) $\frac{\mathrm{n} \pi}{2}$
(C) $\frac{(4 n+1) \pi}{8}$
(D) $\frac{(4 \mathrm{n}+1) \pi}{2}$

4. $2(\cos x+\sec x)=5$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান ‒

[DU 2006-2007]

(A) $n \pi \pm \frac{\pi}{3}$
(B) $2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}$
(C) $2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}$
(D) $n \pi \pm \frac{\pi}{6}$

 

5. $2 \cos ^{2} \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta=3$ হলে θ এর মান ‒

[DU 2007-2008]

(A) $30^{\circ}$
(B) $45^{\circ}$
(C) $60^{\circ}$
(D) $135^{\circ}$

6. $2 \cos \theta=1$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান ‒

[DU 2008-2009]

(A) $\theta=\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{3}$
(B) $\theta=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}$
(C) $\theta=2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{6}$
(D) $\theta=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}$

7. $\sin ^{2} 2 \theta-3 \cos ^{2} \theta=0$ সমীকরণের সাধারণ সমাধান ‒

[DU 2010-2011]

(A) $2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}$
(B) $n \pi \pm \frac{\pi}{3}$
(C) $n \pi \pm \frac{\pi}{6}$
(D) $2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}$

সমাধান

1.

$4\left(\sin ^{2} \theta+\cos \theta\right)=5$
$\Rightarrow 4 \sin ^{2} \theta+4 \cos \theta=5$
$\Rightarrow 4\left(1-\cos ^{2} \theta\right)+4 \cos \theta=5$
$\Rightarrow 4-4 \cos ^{2} \theta+4 \cos \theta=5$
$\Rightarrow 4 \cos ^{2} \theta-4 \cos \theta+1=0$
$\Rightarrow(2 \cos \theta-1)^{2}=0$
$\Rightarrow 2 \cos \theta-1=0$
$\Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi}{3}$

∴ $\theta=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}$  [cos θ = cos α হলে θ = 2nπ ± α]

∴ Answer: (B)

2.

[উদাহরণ 1 দ্রষ্টব্য]

$\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta=2$
$\Rightarrow \frac{1}{2} \cos \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta=1$
$\Rightarrow \cos \frac{\pi}{3} \cos \theta+\sin \frac{\pi}{3} \sin \theta=1$
$\Rightarrow \cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=1$

$\Rightarrow \theta-\frac{\pi}{3}=2 n \pi$ [cos θ = 1 হলে θ = 2nπ]

$\therefore \theta=2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{3}$

∴ Answer: (C)

3.

$\cot x-\tan x=2$
$\Rightarrow \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}=2$
$\Rightarrow \frac{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x}{\sin x \cos x}=2$
$\Rightarrow \frac{\cos 2 x}{2 \sin x \cos x}=1$
$\Rightarrow \frac{\cos 2 x}{\sin 2 x}=1$
$\Rightarrow \tan 2 x=1$

$\Rightarrow 2 \mathrm{x}=\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}$ [tan θ = 1 হলে $\theta=\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}$ ]

$\Rightarrow 2 \mathrm{x}=\frac{4 \mathrm{n} \pi+\pi}{4}$
$\therefore \mathrm{x}=\frac{(4 \mathrm{n}+1) \pi}{8}$

∴ Answer: (C)

4.

$2(\cos x+\sec x)=5$
$\Rightarrow 2 \cos x+\frac{2}{\cos x}=5$

$\Rightarrow \frac{2 \cos ^{2} x+2}{\cos x}=5$
$\Rightarrow 2 \cos ^{2} x+2=5 \cos x$
$\Rightarrow 2 \cos ^{2} x-5 \cos x+2=0$
$\Rightarrow 2 \cos ^{2} x-4 \cos x-\cos x+2=0$
$\Rightarrow 2 \cos x(\cos x-2)-1(\cos x-2)=0$
$\Rightarrow(\cos x-2)(2 \cos x-1)=0$

হয়,

cos x ‒ 2 = 0

⇒ cos x = 2 যা অসম্ভব কেননা, ‒ 1 ≤ cos x ≤ 1

অথবা,

$2 \cos x-1=0$
$\Rightarrow \cos x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi}{3}$

∴ $x=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}$  [cos θ = cos α হলে θ = 2nπ ± α]

∴ Answer: (C)

5.

$2 \cos ^{2} \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta=3$
$\Rightarrow 2\left(1-\sin ^{2} \theta\right)+2 \sqrt{2} \sin \theta=3$
$\Rightarrow 2-2 \sin ^{2} \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta=3$
$\Rightarrow 2 \sin ^{2} \theta-2 \sqrt{2} \sin \theta+1=0$
$\Rightarrow(\sqrt{2} \sin \theta-1)^{2}=0$
$\Rightarrow \sqrt{2} \sin \theta-1=0$
$\Rightarrow \sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi}{4}$
$\therefore \theta=\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$

∴ Answer: (B)

6.

$2 \cos \theta=1$
$\Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi}{3}$

$\therefore \theta=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}$  [cos θ = cos α হলে θ = 2nπ ± α]

∴ Answer: (D)

7.

$\sin ^{2} 2 \theta-3 \cos ^{2} \theta=0$
$\Rightarrow(\sin 2 \theta)^{2}-3 \cos ^{2} \theta=0$
$\Rightarrow(2 \sin \theta \cos \theta)^{2}-3 \cos ^{2} \theta=0$
$\Rightarrow 4 \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta-3 \cos ^{2} \theta=0$
$\Rightarrow \cos ^{2} \theta\left(4 \sin ^{2} \theta-3\right)=0$

হয়,

$\cos ^{2} \theta=0$
$\Rightarrow \cos \theta=0$

$\therefore \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2}$  [cos θ = 0 হলে θ = (2n + 1) ]

অথবা,

$4 \sin ^{2} \theta-3=0$
$\Rightarrow \sin ^{2} \theta=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi}{3}$

$\Rightarrow \theta=\mathrm{n} \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{3}$ [sin θ = sin α হলে $\theta=n \pi+(-1)^{n} \alpha$ ]

∴ Answer: (B)