সাধারণ ধারণা

দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে (Decimal Number System) গণনার জন্য দশটি অঙ্ক (Digit) ব্যবহার করা হয় । এ পদ্ধতির ভিত্তি (Base) $10$

বাইনারি বা দ্বিমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে (Binary Number System) গণনার জন্য দুইটি অঙ্ক ব্যবহার করা হয় । এ পদ্ধতির ভিত্তি $2$

দশমিক থেকে বাইনারিতে রূপান্তর : প্রদত্ত সংখ্যাকে দিয়ে ভাগ করে ভাগফল এবং ভাগশেষ ($0$ অথবা $1$) যথাক্রমে লিখতে হবে । এভাবে ক্রমাগত $2$ দিয়ে প্রাপ্ত ভাগফলগুলোকে ভাগ করে যেতে হবে যতক্ষণ না ভাগফল শূন্য $(0)$ হয় । এরপর, প্রাপ্ত ভাগশেষগুলোকে বিপরীতক্রমে বামদিক হতে ডানদিকে সাজালেই নির্ণয় বাইনারি সংখ্যা পাওয়া যাবে । যেমন : $1237$ এর দ্বিমিক রূপান্তর-

 

math-computer-1

 

$\therefore(1237)_{10}=(10011010101)_{2}$

প্রদত্ত সংখ্যা দশমিক ভগ্নাংশবিশিষ্ট হলে ঐ সংখ্যার পূর্ণ অংশ এবং দশমিক ভগ্নাংশ পৃথকভাবে বাইনারিতে পরিণত করতে হবে । পূর্ণ অংশের জন্য উপরোক্ত পদ্ধতি প্রযোজ্য । দশমিক ভগ্নাংশকে ক্রমাগত $2$ দিয়ে গুণ করে গুণফলের পূর্ণ অংশ ও দশমিক ভগ্নাংশ পৃথকভাবে লিখতে হবে । এভাবে কোনো নির্দিষ্ট দশমিক স্থান পর্যন্ত গুণ করে পূর্ণ অংশগুলো যথাক্রমে বাম থেকে ডানে সাজিয়ে সর্ববামে দশমিক বিন্দু স্থাপন করলে নির্দিষ্ট দশমিক স্থান পর্যন্ত রূপান্তরিত বাইনারি সংখ্যা পাওয়া যাবে । যেমন- $1237$ এর বাইনারি রূপান্তরের ক্ষেত্রে পূর্ণ অংশের জন্য অর্থাৎ এর জন্য আগের পদ্ধতি অনুসরণ করতে হবে । তাহলে $0.135$ এর দশমিক রূপান্তর:

 

 

পূর্ণ অংশ

দশমিক ভগ্নাংশ

.135 × 2 = 0.270

0

.270

.270 × 2 = 0.540

0

.540

.540 × 2 = 1.80

1

.80

.80 × 2 = 0.160

0

.160

.160 × 2 = 0.320

0

.320

.320 × 2 = 0.640

0

.640

.640 × 2 = 1.280

1

.280

...

...

...

 

$\therefore(.135)_{10}=(.0010001 \ldots)_{2}$

N.B. : বাইনারিতে রূপান্তরিত দশমিক ভগ্নাংশকে পুনরায় দশমিকে রূপান্তরিত করলে পূর্বের মান/প্রকৃত মান থেকে ‍কিছুটা বিচ্যুতি ঘটতে পারে ।

 

ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে দশমিক থেকে বাইনারিতে রূপান্তর

 

1. প্রথমে ক্যালকুলেটরটিকে BASE mode-এ নিতে হবে-
math-computer-2

2. এরপর Output system পরিবর্তিত করে আমাদের আকাঙ্ক্ষিত system এ নিতে হবে । এক্ষেত্রে আমরা Output চাই Binary  তে । সুতরাং,

math-computer-3

3. এরপর Input system পরিবর্তিত করে আমাদের আকাঙ্ক্ষিত system এ নিতে হবে । আমরা Input করব Decimal number । সুতরাং,

 math-computer-4 [d for decimal]

4. সবশেষে number টি input করে   $=$   চাপলেই আমাদের নির্ণেয় binary number পাওয়া যাবে ।

চাপলেই আমাদের নির্ণেয় binary number পাওয়া যাবে ।

এভাবে যেকোনো বাইনারিতে রূপান্তর সম্ভব নাও হতে পারে । যেসব ক্ষেত্রে, বাইনারি রূপান্তরিত সংখ্যাটি ক্যালকুলেটরের range এর বাইরে থাকবে সেসব ক্ষেত্রে MATH ERROR দেখাবে । তাছাড়া, দশমিক ভগ্নাংশের রূপান্তর এ পদ্ধতিতে সম্ভব নয়।

 

বাইনারি থেকে দশমিকে রূপান্তর

$n$ অঙ্কবিশিষ্ট (Digit) বাইনারি সংখ্যার প্রতিটি অঙ্ককে বাম থেকে ডানে যথাক্রমে $2^{n-1}$ থেকে $2^{0}$ দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলগুলোকে যোগ করলেই নির্ণেয় দশমিক সংখ্যা পাওয়া যাবে। যেমন :

$(10011010101)_{2}=1 \times 2^{10}+0 \times 2^{9}+0 \times 2^{8}+1 \times 2^{7}+1 \times 2^{6}+0 \times 2^{5}+1 \times 2^{4}+0 \times 2^{3}+1 \times 2^{2}+0 \times 2^{1}+1 \times 2^{0}$
$=(1237)_{10}$

দশমিক ভগ্নাংশবিশিষ্ট বাইনারি রূপান্তরের ক্ষেত্রে পূর্ণ অংশকে উপরোক্ত পদ্ধতিতে রূপান্তরিত করে দশমিক ভগ্নাংশের প্রতিটি অঙ্ককে বাম থেকে ডানে $2^{-1}, 2^{-2}, 2^{-3}, \ldots, 2^{-\mathrm{n}}$ দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলগুলোকে যোগ করলে দশমিক সংখ্যাটির আসন্ন মান পাওয়া যাবে । যেমন: 
$(.0010001)_{2}=0 \times 2^{-1}+0 \times 2^{-2}+1 \times 2^{-3}+0 \times 2^{-4}+0 \times 2^{-5}+0 \times 2^{-6}+1 \times 2^{-7}$
$=(0.1328125)_{10}$

 

1. প্রথমে ক্যালকুলেটরটিকে BASE mode-এ নিতে হবে ।

math-computer-5

2. এরপর Output system পরিবর্তিত করে আমাদের কাঙ্ক্ষিত system এ নিতে হবে । এক্ষেত্রে আমরা Output চাই Decimal এ । সুতরাং,

math-computer-6

3. এরপর Input system পরিবর্তিত করে আমাদের কাঙ্ক্ষিত system এ নিতে হবে । এক্ষেত্রে আমরা Input করব Binary number । সুতরাং,

    math-computer-7    [b for binary]
  
4. সবশেষে number টি input করে  $=$ চাপলেই আমাদের নির্ণেয় decimal number পাওয়া যাবে ।

N.B.: এভাবে যেকোনো সংখ্যাকে দশমিকে রূপান্তর সম্ভব নাও হতে পারে । তাছাড়া, ভগ্নাংশবিশিষ্ট দ্বিমিকের রূপান্তর calculator-এ করার option থাকে না ।

  • বাইনারি যোগ

0

+0

0

+1

1

+0

1

+1

0

1

1

10

$0+1=1 \rightarrow 1+1=10 \rightarrow 10+1=11 \rightarrow 11+1=100 \rightarrow 100+1=101 \rightarrow 101+1=110 \ldots$

  • বাইনারি বিয়োগ

0
-0

1
-0

1
-1

0
-1

0

1

0

11

 

  • বাইনারি গুণ

0 × 0

0

0 × 1

0

1 × 0

0

1 × 1

1

 

  • বাইনারি ভাগ

0/1

0

1/1

1

 

  • You can use a calculator to add, subtract, multiply or divide binary numbers within the calculator’s range. Make sure your output system is binary. No change is necessary for the input system.