ধারার যোগফল (Summation of Series)

সাধারণ ঘটনা 

• অনুক্রম (Sequence) : অনুক্রম হলো একটি ফাংশন যার ডোমেন N এবং রেঞ্জ R এর উপসেট । অনুক্রমকে ফাংশনের রেঞ্জ দ্বারা নির্দেশ করা হয় । যেমন :

u : N → S কোনো ফাংশন হলে (যেখানে n ∈ N, S ⊂ R ) u(n) ∈ S কে n এর প্রেক্ষিতে u এর প্রতিচ্ছবি বলা হয় । একে u_n দ্বারা সূচিত করা হয় ।

∴ u এর রেঞ্জ : {u₁, u₂, u₃, ......, u _n, ......}

∴ u₁, u₂, u₃, ......, u_n, ...... একটি অনুক্রম ।

• ধারা (Series) : বাস্তব সংখ্যার একটি অনুক্রম u₁, u₂, u₃, ......, u_n, ...... হলে u ₁+u₂+u₃+......+u_n+...... কে বাস্তব সংখ্যার অসীম ধারা বা অনন্ত ধারা (Infinite series) বলে । u _n হল অসীম ধারার n তম পদ । ধারার পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট থাকলে তাকে সান্ত ধারা (Finite Series) বলে ।
• সমান্তর ধারা (Arithmetic Series) : একটি একটি সান্ত বা সসীম ধারা । যে সান্ত ধারায় যেকোনো পদকে তার পরবর্তী পদ থেকে বিয়োগ করলে একই সংখ্যা বা রাশি পাওয়া যায়, তাকে সমান্তর ধারা বলে এবং ঐ বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে । সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে ।

সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে,

n তম পদ = a + (n-1)d

প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = (n/2){2a+(n-1)d}

গুণোত্তর ধারা (Geometric Series) : যে ধারায় কোনো পদের সাথে তার পরবর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হয় তাকে গুণোত্তর ধারা বলে । যেমন : a+ar+ar ²+......+ar^n-1 একটি গুণোত্তর ধারা ।

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে,

n তম পদ = ar^n-1

প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = a{(rⁿ-1)/(r-1)} যখন r>1

= a{(1-rⁿ)/(1-r)} যখন r<1

আবার, গুণোত্তর ধারার পদসংখ্যা অসীম এবং ∣r∣<1 (অর্থাৎ -1<r<1) হলে,

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি (sum up to infinity), S_α = a/(1-r)

• প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল : $\sum n=\{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)\} / 2$
• প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল : $\sum n^{2}=(1 / 6) \mathrm{n}(\mathrm{n}+1)(2 \mathrm{n}+1)$
• প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের যোগফল : $\sum n^{3}=\left\{\frac{n(n+1)^{2}}{2}\right\}^{2}$
• প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল : $\sum 2 n-1=\mathrm{n}^{2}$
• প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার যোগফল : $\sum 2 n$ = n(n+1)

 

গাণিতিক সমস্যার উদাহরণ ও সমাধান 

 

1. n সংখ্যক পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর : 1.2+2.5+3.8+.........

প্রদত্ত ধারাটির পদগুলো দুটি সমান্তর ধারার গুণফল রূপে প্রকাশিত যার একটি হল : 1+2+3+.........

∴ n তম পদ = 1+(n-1)1 [see সমান্তর ধারা]

= n

∴ প্রদত্ত ধারার সাধারণ পদ, u_n = n(3n-1) = 3n²-n

∴ প্রদত্ত ধারার n তম পদ পর্যন্ত যোগফল,

$\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=3 \sum n^{2}-\sum n$

= 3(1/6)n(n+1)(2n+1) – {n(n+1)}/2 [see n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল ও n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল]

= {n(N+1)(2n+1)}/2 – {n(n+1)}/2

= ½ n(n+1)(2n+1-1)

= n²(n+1)

[লক্ষণীয়, সর্বোচ্চ তিনটি পদের গুণফল রূপে প্রকাশিত ধারার যোগফল এই প্রক্রিয়ায় নির্ণয় করা যায়]

 

2. যোগফল নির্ণয় কর : 2²+4²+6² +.........+(2n)²

এখন, 2²+4²+6²+.........+(2n)²

= 2²1²+2²2²+2²3 ²+.........+2²n²

= 2²(1²+2²+3²+.........+n ²)

= 4(1/6)n(n+1)(2n+1) [see n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল]

= (2/3)n(n+1)(2n+1)

3. n তম পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর : 1.4.7+4.7.10+7.10.13+.........

এখানে, u_n = (3n-2)(3n+1)(3n+4)...(i) [see examole 1]

∴ u_n+1 = (3n+1)((3n+4)(3n+7)...(ii)

(i)/(ii) ⇒ u_n/(u_n+1) = (3n-2)/(3n+7)

⇒ (3n+7)u_n = (3n-2)u_n+1 ...(iii)

ধরি, v_n = (3n+7)u_n ...(iv)

∴ v_n+1 = (3n+10)u_n+1 ...(v)

∴ (v)-(vi) ⇒ v_n+1 - v_n = (3n+10)u_n+1 – (3n+7) u_n

= (3n+10)u_n+1 –(3n-2)u_n+1 [(iii) অনুসারে]

= 12u_n+1

∴ u_n+1 = (1/12)(v_n+1 - v_n)...(vi)

(vi) এ n = 1,2,3...... বসিয়ে পাই,

u₁ = (1/12)(v₁-v₀)

u₂ = (1/12)(v₂-v₁)

... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

u_n = (1/12)(v_n-v_n-1)

_____________________________

(+) করে, S_n = u₁+u₂+u₃+......+u _n = (1/12)(v_n-v₀)

(iv) এ n = 0 বসিয়ে পাই, v₀ = 37.u₀

= -56 [(i) থেকে এর মান বসিয়ে]

∴ S_n = (1/12)(v_n-v₀)

= (1/12)(3n+7)u_n + (56/12)

= (14/3) + (1/12)(3n-2)(3n+1)(3n+4)(3n+7)

শর্টকার্ট : কোনো ধারার প্রতিটি পদ সমান্তর শ্রেণিভুক্ত হলে অর্থাৎ সাধারণ পদের প্রতিটি উৎপাদকের অন্তর একই হলে এবং ‍উৎপাদগুলোর প্রথম পদ একই সমান্তর শ্রেণিভুক্ত হলে নিম্নোক্ত সূত্র প্রয়োগ করে সহজেই ধারার যোগফল নির্ণয় করা যায় ।

S_n = {(একই সমান্তর প্রগমনের একটি অতিরিক্ত উৎপাদক)/(অতিরিক্ত উৎপাদন সহ মোট উৎপাদক সংখ্যা × সাধারণ অন্তর)} + ধ্রুবক C

আলোচ্য প্রশ্নে প্রদত্ত ধারার U_n = (3n-2)(3n+1)(3n+4)

এখানে, (3n-1)-(3n-2) = (3n+4)-(3n+1) = 3 = সাধারণ অন্তর

প্রতিটি উৎপাদকের প্রথম পদ = 3n

∴ S_n = {(3n-2)(3n+1)(3n+4)(3n+7)}/(4×3) + C

C এর মান নির্ণয়ের জন্য n = 1 বসিয়ে S_n = S₁ = U ₁ থেকে অথবা n = 0 বসিয়ে S_n = S₀ = 0 থেকে বের করতে হবে ।

এক্ষেত্রে, n = 0 বসিয়ে পাই, 0 = -(56/12) + C

⇒ C = 14/3

∴ S_n = (14/3) + (1/12)(3n-2)(3n+1)(3n+4)(3n+7)

একই প্রক্রিয়ায় ভগ্নাংশ রূপের ধারার সমষ্টি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে,

S_n = ধ্রুবক C – 1/{(এর প্রথম উৎপাদক বাদে অন্যগুলো) × উৎপাদক সংখ্যা × সাধারণ অন্তর}

[ভালোভাবে বুঝতে Example 4 দেখুন]

 

4. n তম পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর : 1/(1.2.3) + 1/(2.3.4) + 1/(3.4.5) + .........

এখানে, u_n = 1/{n(n+1)(n+2)} [see example 1 for details]

∴ S_n = C – 1/{(n+1)(n+2)×2×1} [see example 3 short-cut]

n = 0 বসিয়ে পাই, 0 = C-(1/4)

⇒ C = (1/4)

∴ S_n = 1/4 – 1/{2(n+1)(n+2)}

5. 7+77+777+......... ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর ।

ধরি, S = 7+77+777+...... n পদ পর্যন্ত

⇒ S/7 = 1+11+111+...... n পদ পর্যন্ত

⇒ 9S/7 = 9+99+999+...... n পদ পর্যন্ত

= (10-1)+(100-1)+(1000-1)+...... n পদ পর্যন্ত

= (10+10²+10³+......+10ⁿ)-(1+1+1+......+1) n পদ পর্যন্ত

= 10(1+10+10²+......+10ⁿ)-n [ = n]

= 10{(10ⁿ-1)/(10-1)}-n [see গুণোত্তর ধারার n পদ পর্যন্ত সমষ্টি]

= (10/9)(10ⁿ-1)-n

∴ S = 7/9{(10/9)(10ⁿ-1)-n}

শর্টকার্ট :

a+aa+aaa+...... ধারাটির n পদ পর্যন্ত সমষ্টি,

S_n = (a/9){(10/9)(10ⁿ-1)-n}

 

6. 3/21 + 9/21 + 27/21 + 81/21 + .........এর মান কত?

এখানে, 3/21 + 9/21 + 27/21 + 81/21 + .........

= 1 + 3/21 + 9/21 + 27/21 + 81/21 + ......... – 1

= c³-1 [see দ্বিপদী উপপাদ্য- some important series to remember viii ]

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন ও সমাধান 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন :

1. 1/2 + (-1/4) + 1/8 + (-1/16) + ...... ধারার অসীম পর্যন্ত মান কত? [DU : 2000-01]

a. 1/4

b. 1/3

c. 1/2

d. 1/8

 

2. 1 থেকে 9 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলির ঘনের সমষ্টি কত? [DU : 2000-01]

a. 1600

b. 2025

c. 2500

d. 1225

 

3. অসীম ধারা .6+.06+.006+ ...... এর যোগফল কত? [DU : 2001-02]

a. 1/3

b. 2/3

c. 4/5

d. 1/6

 

4. 1 + 3/1! + 5/2! + 7/3! + ...... ধারাটির যোগফল- [DU : 2003-04]

a. e

b. 2e

c. 3e

d. 4e

 

5. একটি গুণোত্তর প্রগমনের চতুর্থ পদ এবং নবম পদ 2187 হলে সাধারণ অনুপাত কত? [DU : 2003-04]

a. 7

b. 9

c. 3

d. 27

 

6. 1.2+2.3+3.4+...... ধারাটির n তম পদ পর্যন্ত যোগফল- [DU : 2004-05]

a. (1/2)n(n+2)(2n+3)

b. (1/3)n(n+1)(n+2)

c. (1/3)n(n+1)(2n+1)

d. (1/12)n(n+1)(2n+1)

 

7. 0.3+0.003+0.00003+...... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল- [DU : 2006-07]

a. 10/33

b. 1/3

c. 1/33

d. 33/100

 

8. n তম পদ পর্যন্ত 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...... ধারাটির যোগফল- [DU : 2009-10]

a. n(n+1)(n+2)(n+3)

b. (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)

c. (1/2)n(n+1)(n+2)(n+3)

d. (1/4)n(n+1)(n+2)(n+3)

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন 

1. এখানে, a = 1/2; r = -1/2

∵ ∣r∣ = 1/2 < 1 ∴ S_n = a/(1-r) = 1/3 [see গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি]

∴ Answer B

 

2. এখানে, n = a

∴ $\sum n^{3}=\frac{n(n+1)^{2}}{2}=2025$

∴ Answer B

 

3. এখানে, a = .6; r = 0.1

∵ ∣r∣ = 0.1 < 1 ∴ S_n = a/(1-r) = 1/6 [see গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি]

∴ Answer D

 

4. এখানে, 1 + 3/1! + 5/2! + 7/3! + ......

= 1 + (2+1)/1! + (4+1)/2! + (6+1)/3! + ......

= (1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ......) + 2/1! + 4/2! + 6/3! + ......

= e + 2(1/1! + 2/2! + 3/3! + ......)

= e + 2{(1 + 2/(2.1!) + 3/(3.2!) + 4/(4.3!) + ......} [∵ n! = n(n-1)!]

= e + 2 (1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ......)

= e + 2e

= 3e

∴ Answer C

 

5. ধরি, প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত r

∴ চতুর্থ পদ = ar^4-1 = 9 ⇒ ar³ = 9...(i) [see গুণোত্তর ধারার n তম পদ]

∴ নবম পদ = ar^9-1 = 2187 ⇒ ar⁸ = 2187...(ii)

(ii)/(i) ⇒ r⁵ = 243 ⇒ r = 3

∴ Answer C

 

6. এখানে, U_n = n(n+1) [see example 1]

= n²+n

∴ $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\sum n^{2}+\sum n=(1 / 6) \mathrm{n}(\mathrm{n}+1)(2 \mathrm{n}+1)+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$

= $\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}\{(1 / 3)(2 \mathrm{n}+1)+1\}$

= n(n+1)/2 × (2n+4)/3

= {n(n+1)(n+2)}/3

∴ Answer b

 

7. এখানে, a = 0.3; r = 0.01

∵ ∣r∣ < 1 ∴ S_n = a/(1-r) = 10/33 [see গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি]

∴ Answer a

 

8. এখানে, U_n = n(n+1)(n+2)

∴ S_n = [{n(n+1)(n+2)(n+3)}/4×1] + C [see example 3 short-cut]

n = 0 হলে, 0 = 0+C ⇒ C = 0

∴ S_n = 1/4 {n(n+1)(n+2)(n+3)}

∴ Answer d