স্থানাংক

সাধারণ ধারণা 

 

কার্তেসীয় স্থানাংক জ্যামিতিতে দ্বারা কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশিত হলে,

 

      x = ঐ বিন্দুর ভুজ (abscissa) বা x– স্থানাংক

      y = ঐ বিন্দুর কোটি (ordinate) বা y– স্থানাংক

 

পোলার স্থানাংক জ্যামিতিতে (Polar Co-ordinate Geomatry) p (π,θ) দ্বারা কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশিত হলে ,

 

    π = ঐ বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর (Radius Vector)

    θ = ভেক্টোরিয়াল কোণ (Vectorian Vector)

 

যখন, π² = x²+y²

এবং θ = tan^-1(y/x)  [ বিন্দুর অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে হলে ]        

     = π - tan^-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান দ্বিতীয় চতুভাগে হলে ]

     = π + tan^-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান তৃতীয় চতুভাগে হলে ]

     = - tan^-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান চতুর্থ চতুভাগে হলে ]

            or, 2π - tan^-1(y/x)

 

x = π cosθ       ; y = π sinθ

• মূল বিন্দু বা পোল এর স্থানাংক ≡ (0,0)
• x অক্ষরেখার উপর যেকোনো বিন্দুর কোটি শূন্য (0)
• y অক্ষরেখার উপর যেকোনো বিন্দুর ভুজ শূন্য (0)
• x অক্ষরেখার থেকে যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব হল ঐ বিন্দুর কোটি = │y│
• y অক্ষরেখা থেকে যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব হল ঐ বিন্দুর ভুজ = │x│
• যেকোনো বিন্দু p (x₁, y₁) এবং এর মধ্যকার দূরত্ব হল,

PQ = $\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$

• মূল বিন্দু থেকে P(x₁,y₁) বিন্দুর দূরত্ব = $\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$
• P(x₁,y₁) ও Q(x₂,y₂) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি যদি অন্তর্বিভক্ত করে অর্থাৎ PR:RQ যেখানে m₁,m₂ϵIR তবে,

x = $\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}$

y = $\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}$

¥ P(x₁,y₁) ও Q(x₂,y₂) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি যদি বহির্বিভক্ত করে অর্থাৎ PR:RQ=m₁:m₂ হয় যেখানে m₁,m₂ϵIR

x = $\frac{m_{1} x_{2}-m_{2} x_{1}}{m_{1}-m_{2}}$

y = $\frac{m_{1} y_{2}-m_{2} y_{1}}{m_{1}-m_{2}}$

¥ P(x₁,y₁) ও Q(x₂,y₂) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে যদি R(x,y) বিন্দুটি সমদ্বিখন্ডিত করে অথাৎ PR:RQ=1:1, হয় তবে,

x = $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$

y = $\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$

¥ কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো যথাক্রমে (x₁,y₁), (x₂,y₂), এবং (x₃,y₃) হলে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাংক হবে ≡ $\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$

¥ ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে 2:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে

¥ বর্গক্ষেত্র ,আয়তক্ষেত্র , রম্বস ও সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে ।

¥ P(x₁,y₁) এবং Q(x₂,y₂) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি k:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে, k = $\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y}$

এবং বহির্বিভক্ত করলে, k = $\frac{x_{1}-x}{x_{2}-x}=\frac{y_{1}-y}{y_{2}-y}$

¥ P(x₁,y₁) ও Q(x₂,y₂) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে x অক্ষ $-\frac{y_{1}}{y_{2}}: 1$ অনুপাতে এবং y অক্ষ $-\frac{x_{1}}{x_{2}}: 1$ অনুপাতে বিভক্ত করে। অনুপাতের মান ঋণাত্মক হলে বুঝতে হবে অক্ষরেখা উক্ত সরলরেখাকে বহির্বিভক্ত করে ।

¥ কোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমরেখ এবং ভরকেন্দ্র , লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখাকে 2:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে ।

¥ P(x₁,y₁) ও Q(x₂,y₂) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে ax+by+c=0 রেখাটি k:1 অনুপাতে বিভক্ত করলে, k = - $\frac{a x_{1}+b y_{1}+c}{a x_{2}+b y_{2}+c}$ । k এর মান ঋণাত্মক হলে বুঝতে হবে রেখাটি বহির্বিভক্ত হয়েছে।

¥ কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো যথাক্রমে (x₁,y₁), (x₂,y₂), এবং (x₃,y₃) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে,

½   = $\begin{array}{lll}\mathrm{x}_{1} & \mathrm{x}_{2} & \mathrm{x}_{3} \\ \mathrm{y}_{1} & \mathrm{y}_{2} & \mathrm{y}_{3} \quad 1 / 2\left\{\mathrm{x}_{1}\left(\mathrm{y}_{2}-\mathrm{y}_{3}\right)+\mathrm{x}_{2}\left(\mathrm{y}_{3}-\mathrm{y}_{1}\right)+\mathrm{x}_{3}\left(\mathrm{y}_{1}-\mathrm{y}_{2}\right)\right\} \\ 1 & 1 & 1\end{array}$                                 

অথবা নিম্নোক্ত উপায়ে সজ্জিত করেও সহজে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়

                ⇒ Δ = ½ {(x₁y₂+x₂y₃+x₃+y₁)-(y₁x₂+y₂+x₃+y₃x1)}

 উক্ত প্রক্রিয়ায় যেকোনো ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় সম্ভব ।

 

¥ ∆ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো যথাক্রমে (x₁,y₁), (x₂,y₂), ও (x₃,y₃) এবং a, b, c যথাক্রমে ∠A, ∠B এবং ∠C এর বিপরীত বাহু হলে :

 

I. অন্তকেন্দ্র ≡ $\left(\frac{a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}}{a+b+c}, \frac{a y_{1}+b y_{2}+c y_{3}}{a+b+c}\right)$

ii. পরিকেন্দ্র ≡ $\left(\frac{x_{1} \sin 2 A+x_{2} \sin 2 B+x_{3} \sin 2 C}{\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C}, \frac{y_{1} \sin 2 A+y_{2} \sin 2 B+y_{3} \sin 2 C}{\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C}\right)$

iii. লম্ববিন্দু ≡ $\left(\frac{x_{1} \tan A+x_{2} \tan B+x_{3} \tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}, \frac{y_{1} \tan A+y_{2} \tan B+y_{3} \tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}\right)$

¥ তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে তাদের হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে ।

 

¥ কোনো সামান্তরিকের A, B ও C বিন্দুর স্থানাংক যথাক্রমে (x₁,y₁), (x₂,y₂), ও (x₃,y₃) হলে,

D ≡ (x₁+x₃-x₂, y₁+y₃-y₂)

¥ ∆ABC এর BC, CA ও AB এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে  D(x₁,y₁), E(x₂,y₂) ও F(x₃,y₃) হলে,

1. A ≡ (x₃+x₂-x₁, y₃+y₂-y₁)

         B ≡ (x₁+x₂-x₂, y₁+y₃-y₂)

         C ≡ (x₁+x₂-x₃, y₁+y₂-y₃)

     2. ∆ক্ষেত্র ABC = ∆ক্ষেত্র DEF

     3. ∆ABC ও ∆DEF এর ভরকেন্দ্র একই

 

গাণিতিক সমস্যা

(Examplary problems with sollution:)

1. কোনো বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাংক (-1,√3) হলে, বিন্দুটির পোলার স্থানাংক নির্ণয় কর ।

সমাধান :

      এখানে, x=-1, y=√3 অথাৎ বিন্দুর অবস্থান দ্বিতীয় চতুভাগে ।

∴, $\pi=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2$

∴, θ = π – tan^-1(y/x) = 180° - 60° = 120°

2. কার্তেসীয় সমীকরণগুলোকে পোলার সমীকরণে এবং পোলার সমীকরণগুলোকে কার্তেসীয় সমীকরণে পরিণত কর

সমাধান :

1. x²+y²-2ax = 0
2. y = x tanα
3. π = 2a cosθ
4. π2sin2θ = 2a²
5. (x²+y²)² = 2a²xy
6. π² = a²cos2θ
7. π(1+cosθ) = 2

 

i. x²+y²-2ax = 0 ⇒ x²+y² = 2ax

                                     ⇒ π² = 2a.π cosθ

                                     ⇒ π  = 2a cosθ

 

ii.         y = x tanα ⇒ π sinθ = π cosθ – tanα

                                    ⇒ sinθ/cosθ = tanα

                                    ⇒ tanθ = tanα

                                    ⇒ θ = α

 

iii.        π = 2a cosθ ⇒ π² = 2a π cosθ

                                       ⇒ x²+y² = 2ax

                                       ⇒ x²+y²-2ax = 0

 

iv.        π²sin2θ = 2a² ⇒ π² 2sinθ.cosθ = 2a²  [sin2θ = 2sinθ.cosθ]

                                       ⇒ π sinθ.π cosθ = a²

                                       ⇒ xy = a²

 

v.         (x²+y²)² = 2a²xy ⇒ (π²)² = 2a². πcosθ. πsinθ

                                                ⇒ π² = 2a². 2sinθ.cosθ

                                                ⇒ π² = a² sin2θ

 

vi.        π² = a² cos2θ ⇒ π² = a² (cos² θ – sin²θ)

                                          ⇒ π⁴ = a² (π²cos²θ – π²sin²θ)       [উভয়পক্ষকে π2 দ্বারা গুণ করে]

                                      ⇒ (x²+y²)² = a²(x²-y²)

 

vii.       π(1+cosθ) = 2 ⇒ π(1+cosθ) = 2

                                       ⇒ π + π cosθ = 2

                                       ⇒ π +x = 2

                                       ⇒ π² = (2-x)²

                                       ⇒ x²+y² = 4-4x+x²

                                       ⇒ y² = -4(x-1)

 

3. x অক্ষ ও (-5,-7) থেকে (4,k) বিন্দুটির দূরত্ব সমান হলে k-এর মান নির্ণয় কর ।

সমাধান :

   x অক্ষ থেকে (4,k) বিন্দুর দূরত্ব = │কোটি│ = k

   (-5,-7) থেকে (4,k) বিন্দুর দূরত্ব $=\sqrt{(-5-4)^{2}+(-7-k)^{2}}$
                                                 $=\sqrt{81+49+14 k+k^{2}}$
                                                 $=\sqrt{130+14 k+k^{2}}$

 

 প্রশ্নমতে, k = $\sqrt{130+14 k+k^{2}}$

     ⇒ k² = 130+14k+k²

              ⇒ k = -(65/7)

 

4. A(-1,2) ও B(3,-4) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাকে x অক্ষরেখা ও y অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর ।

সমাধান :

মনে করি, x অক্ষরেখা AB কে k:1 অনুপাতে বিভক্ত করে ।

তাহলে উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক ≡ $\left(\frac{-1+3 k}{k+1}, \frac{2-4 k}{k+1}\right)$

কিন্তু x অক্ষরেখার উপরস্থিত সকল বিন্দুর কোটি শূণ্য ।

অথাৎ, $\frac{2-4 k}{k+1}$ = 0 ⇒ 2-4k = 0 ⇒ k = ½

∴ x অক্ষরেখা AB কে 1:2 অনুপাতে বিভক্ত করে ।

অনুরূপভাবে, y অক্ষরেখাকে উপরস্থিত সকল বিন্দুর ভুজ শূণ্য ।

অথাৎ, $\frac{-1+3 k}{k+1}$ = 0 ⇒ -1+3k = 0 ⇒ k = 1/3

∴ y অক্ষরেখা AB কে 1:3 অনুপাতে বিভক্ত করে ।

শর্টকার্ট:

x অক্ষরেখা AB কে $-\frac{y_{1}}{y_{2}}=-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ অথাৎ 1:2 অনুপাতে বিভক্ত করে

y অক্ষরেখা AB কে $-\frac{x_{1}}{x_{2}}=-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$ অথাৎ 1:3  অনুপাতে বিভক্ত করে

5. A, B, C, D বিন্দুদ্বয়ের স্থানাংক (0,-1), (15,2), (-1,2), (4,-5)); CD কে AB রেখাটি যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর ।

সমাধান :

      মনে করি, CD কে AB রেখাটি k:1 অনুপাতে বিভক্ত করে ।

তাহলে বিভাগ বিন্দু E এর স্থানাঙ্ক ≡ $\left(\frac{4 k-1}{k+1}, \frac{5 k+2}{k+1}\right)$

∵ A, M, B বিন্দুগুলো সমরেখ ।

∴ ∆AMB = 0

$\Rightarrow 1 / 2 \quad\left|\begin{array}{lll}0 & -1 & 1 \\ \frac{4 k-1}{k+1} & \frac{-5 k+2}{k+1} & 1 \\ \Rightarrow & \mid \begin{array}{lll}15 & 2 & 1\end{array}\end{array}\right|=0$
$\Rightarrow\left|\begin{array}{lll}0 & -1 & 1 \\ 4 \mathrm{k}-1 & -5 \mathrm{k}+2 & \mathrm{k}+1 \\ 15 & 2 & 1\end{array}\right|=0$
$\Rightarrow \quad\left|\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 4 \mathrm{k}-1 & -4 \mathrm{k}+3 & \mathrm{k}+1 \\ 15 & 3 & 1\end{array}\right|=0$

⇒ 12k-3+60k-45=0

⇒ 72k = 48

⇒ k = 2/3

 

6. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (5,3) ; এর জ্যা (3,2) যে বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয় তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর

সমাধান :

      মনে করি, O (5,3) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB জ্যা C (3,2) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়েছে ।

     ∴ OC ⊥ AB   [বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব ]

      OA = 5  [বৃত্তের ব্যাসাধ ]

        ∴ OC2 = (5-3)² + (3-2)² = 5

   তাহলে, AOC সমকোণী ত্রিভুজে,

      AC² = OA²-OC² = 25-5 = 20

      ⇒ AC = 2√3

      ∴ AB = 2AC = 4√5

7. একটি বিন্দুর কোটি এর ভুজের দ্বিগুণ । যদি এর দূরত্ব (4,3) থেকে √10 একক হয় তবে বিন্দুটির স্থানাংক নির্ণয় কর ।

সমাধান :

      ধরি, ভুজ = x     ∴ কোটি = 2x

∴ বিন্দুটির স্থানাংক ≡ (x,2x)

এখন, $\sqrt{(x-4)^{2}+(2 x-3)^{2}}=\sqrt{10}$

⇒ x²-8x+16+4x²-12x+9 = 10

⇒ 5x²-20x+15 = 0

⇒ x²-4x+3 = 0

⇒x²-3x-x+3 = 0

⇒ x(x-3)-1(x-3) = 0

⇒ (x-3)(x-1) = 0

∴ x = 3 অথবা 1

যখন x=3 তখন স্থানাংক ≡ (3,6)

যখন x=1 তখন স্থানাংক ≡ (1,2)

8. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে (6,1), (-1,0), (1,-2) । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত ?

সমাধান :

$\therefore \Delta \mathrm{DEF}=1 / 2 \quad\left|\begin{array}{lll}-1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$

 

$=1 / 2 \quad\left|\begin{array}{lll}0 & 2 & 7 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|\left[\pi_{1}^{\prime}=\pi_{1}+\pi_{3}\right]$

 = ½  (2+14) = 8 বর্গ একক

∴ ∆ABC = 4 ∆DEF

          = 32 বর্গ একক

অথবা,

    

⇒ ∆DEF = ½ {2+1+0-(0-12-1)}

                  = ½ (3+13)

                  = 8 বর্গ একক

 

∴ ∆ABC = 4 ∆DEF

          = 32 বর্গ একক

9. A ও B বিন্দু দুইটির স্থানাংক যথাক্রমে (-2,4) এবং (4,-5) । AB রেখা C বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল যেন AB = 3BC । C বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর ।

সমাধান :

      এখানে, AB = 3BC

                              ⇒ $\frac{A B}{B C}=\frac{3}{1}$

                              ⇒ AB:BC = 3:1

      তাহলে C বিন্দুর স্থানাংক ≡ (x,y) হলে,

$\frac{3 x-2}{3+1}=4 \quad \text { এবং } \frac{3 y+4}{4}=-5$

⇒ 3x-2 = 16                      ⇒ 3y+4 = -20

⇒ x = 6                             ⇒ y =-8

 

∴ C ≡ (6,-8)

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নসমূহ

 

1. (-k,2), (0,5) ও (2-k,3) বিন্দুদ্বয় সমরেখ হলে k এর মান কত? [1999-2000]

a. 0

b. 5

c. -14

d. 3

 

2. যদি (-5,2), (4,5), (7,-4) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হয় তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? [2001-02]

a. 48

b. 46 ½

c. 50 ½

d. 71 ½

 

3. কোনো ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুসমূহ (-1,-2), (2,5) ও (3,10) হলে তার ক্ষেত্রফল- [2003-04]

a. 10 sq units

b. 15 sq units

c. 4 sq units

d. 18 sq units

 

4. (x,y), (2,3) ও (5,1) একই সরলরেখায় অবস্থিত হলে- [2005-06]

a. 4x-3y-17 = 0

b. 4x+3y-17 = 0

c. 3x+4y+17 = 0

d. 3x+4y-17 = 0

 

5. (1,4) ও (9,12) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা যে বিন্দুতে 5:3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তার স্থানাংক- [2005-06]

a. (3,2)

b. (5,5)

c. (6,-6)

d. (-1,1)

 

6. (2,2-2x), (1,2) এবং (2,6-2x) বিন্দুগুলো সমরেখ হলে b এর মান- [2006-07]

a. -1

b. 1

c. 2

d. -2

 

7. (1,4) এবং (9,-12) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশ অন্তস্থভাবে যে বিন্দুতে 5:3 অনুপাতে বিভক্ত হয় তার স্থানাংক

a. (6,-6)

b. (3,5)

c. (2,1)

d. (-6,5)

 

8. A, B, C বিন্দুগুলির স্থানাংক যথাক্রমে (a,bc), (b,ca), (c,ab) হলে ∆ABC এর ক্ষেত্রফল কত? [2009-10]

a. ½ abc

b. ½ (a-b)(b-c)(c-a)

c. ½ (b-a)(b-c)(c-a)

d. ½ 3abc

 

সমাধান

1. বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।

অর্থাৎ,

$1 / 2\left|\begin{array}{lll}-\mathrm{k} & 0 & 2-\mathrm{k} \\ 2 & -5 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=0$               

$\Rightarrow\left|\begin{array}{lll}-2 & \mathrm{k} & 2-\mathrm{k} \\ -1 & -7 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=0$

 

⇒ 14+k = 0

 ⇒ k = -14

∴ anser : c

 

2.

ক্ষেত্রফল = ½ {(-25-16+7)-(4+35+20)}

 = 46 ½ বর্গ একক     [N.B: ক্ষেত্রফলের মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

∴ anwser :b

 

3.

ক্ষেত্রফল = ½ {(-5+20-6)-(-4+15-10)}

               = 4 sq units

 Answer : c

 

4. বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে।

      

           $1 / 2\left|\begin{array}{lll}\mathrm{x} & 2 & 5 \\ \mathrm{y} & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=0$                                                      

$\Rightarrow\left|\begin{array}{lll}\mathrm{x}-2 & -3 & 5 \\ \mathrm{y}-3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=0 \quad\left[\mathrm{c}_{1}{ }^{\prime}=\mathrm{c}_{1}-\mathrm{c}_{2} ; \mathrm{c}_{2}^{\prime}=\mathrm{c}_{2}-\mathrm{c}_{3}\right]$

    ⇒ 2x-4+3y-9 = 0

    ⇒ 2x+3y-13 = 0

অথবা, সরাসরি (2,3) ও (5,1) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ বের করলেই হবে-

                  $\frac{x-2}{2-5}=\frac{y-3}{3-1}$

                  ⇒ 2x-4 = -3y+9

                  ⇒ 2x+3y-13 = 0

                  ∴ answer : 2x+3y-13 = 0; not given in the options

 

5. এখানে, (x₁,y₁) = (1,4); (x₂,y₂) = (9,12); m₁ = 5; m₂ = 3

∴ x = (45+3)/8 = 6

∴ y = (60+12)/8 = 9

                  ∴ answer : (6,9) ; not given in the options

 

6. প্রশ্নমতে,

$1 / 2\left|\begin{array}{lll}2 & 1 & 2 \\ 2-2 \mathrm{x} & 2 & \mathrm{~b}-2 \mathrm{x} \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=0$

$\Rightarrow\left|\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 2-\mathrm{b} & 2 & \mathrm{~b}-2 \mathrm{x} \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right|=0$

$\Rightarrow\left|\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 2-\mathrm{b} & 2 & \mathrm{~b}-2 \mathrm{x} \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right|=0$

                  ⇒ 2-b = 0

                  ⇒ b =2

∴ answer : c

 

7. নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাংক ≡ $\left(\frac{45+3}{8}, \frac{-60+12}{8}\right)$

                                  = (6,-6)

                  ∴ answer : a

8.

$\Delta \mathrm{ABC}=1 / 2 \quad\left|\begin{array}{lll}\mathrm{a} & \mathrm{b} & \mathrm{c} \\ \mathrm{ba} & \mathrm{ca} & \mathrm{ab} \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$

$=1 / 2 \quad\left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c \\ -c(a-b) & -a(b-c) c a & a b \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$

$=1 / 2(a-b)(b-c) \quad\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & c \\ -c & -a & a b \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$

   = ½ (a-b)(b-c)

   = ½ (a-b)(b-c)(c-a)

Answer : b