সম্ভাব্যতা(Probability)

 বিষয়াবলী

সাধারণ ধারণা

 

• কোনো ঘটনার সম্ভাব্যতার গাণিতিক পরিমাপ = সমসম্ভাব্যঅনুকূলঘটনারসংখ্যা /  সমসম্ভাব্যমোটফলাফলেরসংখ্যা 

অর্থাৎ সম্ভাব্যতা = কোনো ঘটনারঅনুকূলেনমুনাবিন্দুরসংখ্যা / মোটনমুনাবিন্দুরসংখ্যা 

 

• কোনো ঘটনা A ঘটার সম্ভাব্যতা P(A) হলে 0≤P(A) ≤1 অর্থাৎ A ঘটার সম্ভাব্যতা শূন্যের চেয়ে কম নয় এবং এক অপেক্ষা অধিক নয় ।
• নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাব্যতা 1
• অসম্ভব ঘটনার সম্ভাব্যতা 0
• কোনো ঘটনা A ঘটার সম্ভাব্যতা P(A) এবং না ঘটার সম্ভাব্যতা P(A0) হলে, P(A)+P(A0)=1 অর্থাৎ কোনো ঘটনা ঘটা এবং না ঘটার সম্ভাব্যতার সমষ্টি 1

 

সম্ভাব্যতার সংযোগসূত্র :

P ( A অথবা B) অর্থাৎ P(A⋃B) = P(A)+P(B)

 

যদি A ও B দুটি অবর্জনশীল ঘটনা হয় তবে, P(A⋃B) = P(A)+P(B)-P(A⋂B)

 

• বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে : দুইটি বর্জনশীল ঘটনার যেকোন একটি ঘটার সম্ভাব্যতা তাদের পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাব্যতার সমষ্টির সমান । যদি A ও B দুটি বর্জনশীল ঘটনা হয় তবে
• অবর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে : দুইটি অবর্জনশীল ঘটনার যেকোনো একটি ঘটার সম্ভাব্যতা তাদের পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাব্যতার যোগফল থেকে তাদের একসাথে ঘটার সম্ভাব্যতার বিয়োগফলের সমান ।

• সম্ভাব্যতার গুণন সূত্র : বিভিন্ন স্বাধীন ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতা তাদের পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাব্যতার গুণফলের সমান ।

যদি A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা হয় তবে, P(A⋂B) = P(A).P(B)

• শর্তাধীন সম্ভাব্যতা : যদি A ও B পরস্পর বর্জনশীল দুটি ঘটনা হয় এবং P(B) > 0 হয় তবে B ঘটার শর্তাধীনে A ঘটার সম্ভাব্যতা,

P(A/B) = P(A⋂B) / P(B)

অনুরূপভাবে, যদি হয় P(A) > 0  তবে A ঘটার শর্তাধীনে B ঘটার সম্ভাব্যতা,
P(B/A) = P(A⋂B) / P(A)

 

গাণিতিক সমস্যার সমাধান 

1. একটি সুষম মুদ্রাকে তিনবার টস করা হল-
i. একটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা
ii. একটি টেইল পাওয়ার সম্ভাব্যতা
iii. দুইটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা
iv. তিনটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা
v. কমপক্ষে দুইটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা
vi. বড়জোর দুইটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা
vii. প্রথমে হেড পাওয়ার শর্তে কমপক্ষে দুইটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধানঃ

 

একটি সুষম মুদ্রাকে তিনবার টস করা এবং তিনটি সুষম সমরূপ মুদ্রাকে একবার টস করা সমার্থক ( vii নং এক্ষেত্রে ব্যতিক্রম) ।

নমুনাক্ষেত্রটি হবে নিম্নরূপ : S = {(H,H,H), (H,H,T), (H,T,T), (T,T,T), (T,T,H), (T,H,H), (H,T,T), (T,H,T)}             [H = Head; T = Tail]

অর্থাৎ মোট নমুনাবিন্দুর সংখ্যা/ সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা, n(S) = 8

i. একটি H পাওয়া যেতে পারে 3 উপায়ে = {(H,T,T),(T,T,H),(T,H,T)}

∴ ঘটনার অনুকূলে নমুনাবিন্দুর সংখ্যা = 3

∴ একটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ঘটনারঅনুকূলেনমুনাবিন্দুরসংখ্যা / মোটনমুনাবিন্দুরসংখ্যা = 3/8    [Answer]

 

ii. একটি টেইল পাওয়া যেতে পারে 3 উপায়ে = {(H,H,T),(T,H,H),(H,T,H)}
∴ একটি টেইল পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/8                   [ans.]

লক্ষণীয়, একটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = একটি T পাওয়ার সম্ভাব্যতা
কেননা, প্রতি টসে H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = T পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ½
অনুরূপভাবে, দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = দুইটি T পাওয়ার সম্ভাব্যতা
তিনটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = তিনটি T পাওয়ার সম্ভাব্যতা

 

iii. দুইটি H পাওয়া যেতে পারে 3 উপায়ে = {(H,H,T),(T,H,H),(H,T,H)}
∴ দুইটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/8                     [ans.]

 

iv. তিনটি H পাওয়া যেতে পারে 1 উপায়ে = {(H,H,H)}
∴ তিনটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা 1/8                       [ans.]

লক্ষণীয়, এক্ষেত্রে তিনটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = তিনটি টসের প্রতিটিতে H পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= প্রথম টসে H পাওয়ার সম্ভাব্যতা × দ্বিতীয় টসে H পাওয়ার সম্ভাব্যতা × তৃতীয় টসে H পাওয়ার সম্ভাব্যতা            [∵ ঘটনাগুলো স্বাধীন ∴ গুণন সূত্র প্রযোজ্য]
= ½ × ½ × ½
= 1/8    [ans.]

 

v. কমপক্ষে দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = দুই বা ততোধিক H পাওয়ার সম্ভাব্যতা
দুই বা ততোধিক H পাওয়া যেতে পারে 4 উপায়ে = {(H,H,H),(H,H,T),(T,H,H),(H,T,H)}
∴ কমপক্ষে দুইটি হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 4/8 = 1/2 

                       [ans.]

vi. বড়জোর দুইটি H পাওয়া যেতে পারে 7 উপায়ে = {(H,H,T),(H,T,T),(T,T,T),(T,T,H),(T,H,H),(H,T,H),(T,H,T)}
∴ বড়জোর দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 7/8            [ans.]

লক্ষণীয়, বড়জোর দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = শূন্য H, একটি H অথবা দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= তিনটি H না পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= 1 – তিনটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= 1 – ½ × ½ × ½
= 1 – 1/8
= 7/8

vii. এখানে প্রথমে H পাওয়ার শর্তে মোট নমুনাবিন্দুর সংখ্যা = {(H,H,H),(H,{H,T),(H,T,T),(H,T,H)}
= 4
প্রথমে H পাওয়ার শর্তে কমপক্ষে দুইটি H পাওয়া যেতে পারে 3 উপায়ে = {(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H)}
∴ প্রথমে H পাওয়ার শর্তে কমপক্ষে দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ¾      [ans.]

লক্ষণীয়, যেহেতু প্রথম টসে হেড পাওয়ার শর্তে পরবর্তী টসগুলো বিবেচনা করতে হবে সেহেতু প্রথম টসে হেড ধরে নিয়ে পরবর্তী টসগুলোর সম্ভাব্যতা বিবেচনা করাই যথেষ্ট ।
এখন, মোট দুই বা ততোধিক হেড পাওয়া যাবে যদি-
পরবর্তী 2 টসে 1 বার H পাওয়া যায় অথবা 2 টসে 2 বার হেড পাওয়া যায় । নমুনাক্ষেত্র = {(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)} 4
2 টসে 1 বার H পাওয়া যেতে পারে 2 উপায়ে = {(H,T),(T,H)}
∴ 2 টসে 1 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 2/4 = 1/2
∴ 2 টসে 2 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = প্রথম টসে H পাওয়ার সম্ভাব্যতা × দ্বিতীয় টসে H পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= ½ × ½
= ¼
∴ 2 টসে 1 অথবা 2 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা + 2 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা   [∵ বর্জনশীল]
= ½ + ¼
= ¾
∴  ¾ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা ।

 

শর্টকার্ট

n সংখ্যক প্রচেষ্টা বা পরীক্ষণে r বার ঘটনার অনুকূলে ফলাফল লাভের সম্ভাব্যতা = ⁿC_r × a^n-r × s^r
এখানে, a = প্রতি একক প্রচেষ্টায় ঘটনা না ঘটার সম্ভাব্যতা
s = প্রতি একক প্রচেষ্টায় ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা

i. 3 বার টসে 1 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ³C₁ × (½ )² × (½ )¹
= 3/8    [ans.]

iii. 3 বার টসে 2 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ³C₂ × (½ )¹ × (½ )²
= 3/8    [ans.]

iv. 3 বার টসে 3 বার H পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ³C₃ × (½ )⁰ × (½ )³
= 1/8    [ans.]

v. কমপক্ষে দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা =  দুইটি অথবা তিনটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= দুইটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা + তিনটি H পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= ³C₂ × (½ )¹ × (½ )²+ ³C₂ × (½ )0 × (½ )³
= 3/8 + 1/8
= 4/8 = 1/2     [ans.]

 

 

2. 5 টি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের প্রত্যেকটিতে 6 উঠার সম্ভাব্যতা কত? 3 টি 6 উঠার সম্ভাব্যতা কত?

 

সমাধানঃ

 

ছক্কা নিক্ষেপে 6 উঠার সম্ভাব্যতা = 1/6
∴ 5টি ছক্কার প্রতিটিতে 6 উঠার সম্ভাব্যতা  = 1/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6
= (1/6)⁵
= 1/7776                [ans.]
5টি ছক্কা নিক্ষেপে 3 বার 6 উঠার সম্ভাব্যতা = 1টি ছক্কা 5 বার নিক্ষেপে 3 বার 6 উঠার সম্ভাব্যতা
= ⁵C₃ × (5/6)² × (1/6)³
= 125/3888   [ans.]

 

 

3. 52টি তাসের একটি প্যাকেট হতে নিরপেক্ষভাবে একটি তাস টানলে-

 

সমাধানঃ

 

i. টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা
ii. লাল পাওয়ার সম্ভাব্যতা
iii. লাল টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা
iv. লাল অথবা টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা
v. ইসকাবন বা চিড়া পাওয়ার সম্ভাব্যতা
vi. ইসকাবনের টেক্কা ব্যতীত অন্য টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা
vii. ইসকাবন বা ইসকাবনের টেক্কা ব্যতীত অন্য টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

 

 

i. মোট টেক্কার সংখ্যা = 4
∴ টেক্কার পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 4/52  = 1/13                        [ans.]

 

ii. মোট লাল তাসের সংখ্যা = 26
∴ লাল পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 26/52  = 1/2               [ans,]

 

iii. মোট লাল টেক্কার সংখ্যা = 2
∴ লাল টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 2/52  = 1/26       [ans.]

 

iv. লাল অথবা টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = লাল পাওয়ার সম্ভাব্যতা + টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা – লাল টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা              [∵ অবর্জনশীল]
= 1/2 + 1/13 – 1/26
= 14/26 
= 7/13  [ans.]

 

v. মোট ইসকাবনের সংখ্যা = 13
∴ ইসকাবন পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 13/52  = 1/4
মোট চিড়ার সংখ্যা = 13
∴ চিড়া পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 13/52 = 1/4
∴ ইসকাবন বা চিড়া পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ইসকাবন পাওয়ার সম্ভাব্যতা + চিড়া পাওয়ার সম্ভাব্যতা                [∵ বর্জনশীল]
= 1/4 + 1/4
= 2/4
= 1/2                        [ans.]

 

vi. ইসকাবনের টেক্কা একটি ।
∴ ইসকাবন ব্যতীত অন্য টেক্কার সংখ্যা = 4-1 = 3
∴ ইসকাবন ব্যতীত অন্য টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/52        [ans.]

 

vii. ইসকাবন বা ইসকাবন ব্যতীত অন্য টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ইসকাবন পাওয়ার সম্ভাব্যতা + ইসকাবন ব্যতীত অন্য টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= 1/4 + 3/52
= 16/52
= 4/13 [ans.]

 

4. 52টি তাসের প্যাকেট থেকে ধারাবাহিকভাবে টেনে পরপর 4টি টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

 

সমাধানঃ

 

মোট টেক্কার সংখ্যা = 4
∴ প্রথম টানে টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 4/52  = 1/13
অবশিষ্ট টেক্কার সংখ্যা = 4-1 =3 ; অবশিষ্ট তাসের সংখ্যা = 52-1 = 51
∴ দ্বিতীয় টানে টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/51 = 1/17
অবশিষ্ট টেক্কার সংখ্যা = 2 ; অবশিষ্ট তাসের সংখ্যা = 50
∴ তৃতীয় টানে টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 2/50 = 1/25
অবশিষ্ট টেক্কার সংখ্যা = 1 ; অবশিষ্ট তাসের সংখ্যা = 49
∴ চতুর্থ টানে টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 1/49
∴ টানা 4টি টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 1/13 + 1/7 × 1/25 × 1/49
= 1/270725   [ans.]

 

শর্টকার্ট

4টি টেক্কা থেকে একটি একটি করে মোট 4টি উঠানো যায় 4C₄ উপায়ে ।
52টি টেক্কা থেকে একটি একটি করে মোট 4টি উঠানো যায় 52C₄ উপায়ে ।

∴ সম্ভাব্যতা = সমসম্ভাব্যঅনুকূলঘটনারসংখ্যা / সমসম্ভাব্যমোটফলাফলেরসংখ্যা 
= 4C₄ / 52C₄
= 1/270725                  [ans.]

 

5. A ও B এর একটি অঙ্কের সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা  যথাক্রমে 1/3 এবং 1/4। তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধানের চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্ণয়ের সম্ভাব্যতা কত?

 

সমাধানঃ

 

A এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা = 1-1/3 = 2/3
B এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা = 1-1/4 = 3/4
∴ A ও B এর একত্রে না পারার সম্ভাব্যতা = 2/3 × 3/4 = 1/2
∴ A ও B এর একত্রে পারার সম্ভাব্যতা = 1 – 1/2  = 1/2                    [ans.]

 

 

6. 10 থেকে 30 পর্যন্ত হতে যেকোন সংখ্যা নিলে সেটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

 

সমাধানঃ

 

10 থেকে 30 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 21টি
তার মধ্যে মৌলিক সংখ্যা = {11,13,17,19,23,29}; 6টি
এবং 5 এর গুণিতক সংখ্যা = {10,15,20,25,30}; 5টি
∴ মৌলিক হওয়ার সম্ভাব্যতা = 6/21
∴ 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাব্যতা = 5/21
∴ মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাব্যতা = মৌলিক হওয়ার সম্ভাব্যতা + 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাব্যতা      [বর্জনশীল]
= 6/21 + 5/21
= 11/21                      [ans.]

 

১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা 

Range	Prime Number	Frequency
1-10	2,3,5,7	4
11-20	11,13,17,19	4
21-30	23,29	2
31-40	31,37	2
41-50	41,43,47	3
51-60	53,59	2
61-70	61,67	2
71-80	71,73,79	3
81-90	83,89	2
91-100	97	1
Total		25

 

7. একজন পরীক্ষার্থীর বাংলায় ফেল করার সম্ভাব্যতা 1/5, বাংলা এবং ইংরেজি দুটিতে পাসের সম্ভাব্যতা 3/4, দুইটির যেকোন একটিতে পাসের সম্ভাব্যতা 7/8 হলে, তার ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা কত? বাংলায় পাস করলে ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা কত?

 

সমাধানঃ

 

ধরি, বাংলায় পাসের সম্ভাব্যতা P(B) এবং ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা P(E) ।
∴ P(B) = 1-বাংলায় ফেলের সম্ভাব্যতা = 1-1/5  = 4/5
∴ P(B⋃E) = বাংলা অথবা ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা
= দুইটির যেকোন একটিতে পাসের সম্ভাব্যতা
= 7/8
∴ P(B⋂E)= বাংলা এবং ইংরেজি দু’টিতে পাসের সম্ভাব্যতা
= 3/4
আমরা জানি, P(B⋃E) = P(B) + P(E) – P(B⋂E)
⇒ P(E) = P(B⋃E) + P(B⋂E) – P(B)
⇒ ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা = 7/8 + 3/4 – 4/5  = 33/40  [ans.]
বাংলায় পাস করলে ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা, P(E/B) = P(B⋂E) / P(B)
=
= 15/16          [ans.]

 

 

8. একটি বাক্সে 10টি কালো ও 15টি লাল মার্বেল আছে । একটি বালক যেমন খুশি টেনে প্রতিবারে একটি করে পর পর দুইটি মার্বেল তুলল (দৈবচয়নে একটির পর আরেকটি মোট দুটি মার্বেল তোলা হল)-

 

সমাধানঃ

 

i. মার্বেল দুটির লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা
ii. মার্বেল দুটির কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা
iii. মার্বেল দুটির একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা
iv. মার্বেল দুটির ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

 

 

i. প্রথমটি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = 15/(10+15)  = 15/25  = 3/5
দ্বিতীয়টি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = (15-1)/(25-1)  = 14/24  = 7/12
∴ দু’টি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/5 × 7/12  = 7/20                        [ans.]

 

ii. প্রথমটি কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা = 10/25  = 2/5
দ্বিতীয়টি কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা = 9/24  = 3/8
∴ দু’টি কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা = 2/5 × 3/8   = 3/20                       [ans.}

 

iii. মার্বেল দুটির একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা
= মার্বেল দুটির লাল অথবা কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা
= মার্বেল দুটির লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা + মার্বেল দুটির কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা
= 7/20 + 3/20   = 10/20   = 1/2                                     [ans.]

 

iv. মার্বেল দুটির ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা
= প্রথমে লাল পরে কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা + প্রথমে কালো পরে লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা
= $\left(\frac{15}{25} \times \frac{10}{24}\right)+\left(\frac{10}{25} \times \frac{15}{24}\right)$
= ¼ + ¼
= ½                  [ans.]

শর্টকার্ট: 

i. 25টি লাল মার্বেল থেকে 2টি তোলা যায় 15C₂ উপায়ে
25 মার্বেল থেকে 2টি তোলা যায় 25C₂ উপায়ে ।
∴ দুটি লাল তোলার সম্ভাব্যতা = 15C₂ / 25C₂ = 3/20            [ans.]

 

ii. দুটি কালো মার্বেল তোলার সম্ভাব্যতা = 10C₂ / 25C₂ = 3/20                       [ans.]

 

iii. মার্বেল দুটি একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা = 7/20 + 3/20  = 1/2   [ans.}

 

iv. মার্বেল দুটি ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - মার্বেল দুটির একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা
= 1 – 1/2  = 1/2                        [ans.]
অথবা,
মার্বেল দুটি ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা = (15C₁ × 10C₁) / 25C₂
= 1/2                [ans.]

 

9. একটি থলিতে 10টি কালো ও 15টি লাল মার্বেল আছে । নিরপেক্ষভাবে একটিতে তুলে আবার সবগুলো একত্রে রাখা হল । আবার আরেকটি মার্বেল তোলা হল ।
i. দুটি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা
ii. দুটি কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা
iii. মার্বেল দুটি একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা
iv, মার্বেল দুটি ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা

 

সমাধানঃ

 

i. প্রথমটি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = 15/25 = 3/5
দ্বিতীয়টি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = 15/25 = 3/5
∴ দু’টি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/5 × 3/5 = (3/5)² = 9/25               [ans.]

 

ii. দু’টি কালো হওয়ার সম্ভাব্যতা = (10/25)²   = (2/5)²   = 4/25         [ans.]

 

iii. মার্বেল দুটি একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা = (15/25)² + (10/25)²
= 9/25 + 4/25
= 13/25                        [ans.]

 

iv, মার্বেল দুটি ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - মার্বেল দুটির একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাব্যতা
= 1 – {(15/25)² + (10/25)²}
= 1 – 13/25
= 12/25                        [ans.]

 

লক্ষণীয়, বিনিময়সাপেক্ষে nটি বস্তুর মধ্যে m সংখ্যক একই বৈশিষ্ট্যসম্পন্ন বস্তু r বার পরীক্ষণের প্রতিবার পাওয়ার সম্ভাব্যতা = (m/n)^r

 

10. একটি বাক্সে 8টি লাল, 4টি কালো ও 3টি সাদা বল আছে । 3টি বল দৈবভাবে নেয়া হল-
i. 2টি লাল বল পাওয়ার সম্ভাব্যতা
ii. কমপক্ষে 2টি লাল বল পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

 

সমাধানঃ

 

মোট বল = 8+4+3 = 15টি
i. 8টি লাল বল থেকে 2টি নেয়া যায় ⁸C₂ উপায়ে ।
∵ মোট 3টি বল নিতে হবে ।
∴ অবশিষ্ট 7টি বল থেকে 1টি নেয়া যায় ⁷C₁ উপায়ে ।
∴ 2টি লাল (+ 1টি ভিন্ন রংয়ের) বল পাওয়ার সম্ভাব্যতা = (⁸C₂ × ⁷C₁ ) / ¹⁵C₃
= 28/65            [ans.]

 

ii. কমপক্ষে 2টি লাল বল পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= 2টি লাল পাওয়ার সম্ভাব্যতা + 3টি লাল পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= $\frac{8_{C_{2}} \times 7_{C_{1}}}{15_{C_{3}}}+\frac{8_{C_{3}}}{15_{C_{3}}}$
= 36/65                        [ans.]